Question

如圖，在平面直角坐標系中，直角梯形AOCD的頂點為 O（0，0），A（0，2），D（1，2），C（3，0），點P在OC上運動（O、C兩點除外），設PC=x，四邊形AOPD的面積為y．
（1）求CD的長；
（2）求y關于x的函數表達式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）如果以D為圓心、以

1

2

AD長為半徑作⊙D，以P為圓心、以PC長為半徑作⊙P．當x為何值時，⊙D與⊙P相切？并求出兩圓相切時四邊形AOPD的面積．

Answer 1

分析：（1）如圖作DE⊥BC于E，根據勾股定理即可求出CD的長；
（2）由矩形的性質可以得出DE=AB，由勾股定理可以得出EC的值，進而表示出EP．從而求出BP，再根據梯形的面積公式可以表示出梯形的面積就可以表示出y與x之間的函數的關系式．由點P不與B、C重合，從而可以得出x的范圍．
（3）設PC=x時，⊙D與⊙P外切或內切時，分別分析求出x的值，代入（2）的解析式就可以求出四邊形ABPD的面積．

解答：解：（1）過D點作DE⊥OC，垂足為E，
在Rt△CDE中，DE=2，CE=2，
∴CD=2

2

；

（2）∵PC=x，DE=2，
∴S_△PDC=

1

2

•x•2=x，…
∴S梯形AOCD=

(1+3)

2

×2=4
∴y=S_梯形AOCD-S_△PDC=4-x（0＜x＜3）；

（3）當圓P與圓D外切時，如圖所示：

過D作DE⊥BC，交BC于點E，可得∠DEP=90°，
∵直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，
∴∠A=∠B=90°，
∴四邊形ABED為矩形，又AD=1，AB=2，
∴AB=DE=2，AD=BE=1，
在Rt△CED中，DC=2

2

，DE=2，
根據勾股定理得：EC=

DC2-DE2

═2，
∴EP=EC-PC=2-x，
∵圓D與圓P外切，圓D半徑為

1

2

，圓P半徑為x，
∴DP=

1

2

+x，
在Rt△DEP中，根據勾股定理得：DP²=DE²+EP²，
即（

1

2

+x）²=2²+（2-x）²，
解得：x=

31

20

；
即x=

31

20

時⊙D與⊙P外切．
此時S_{四邊形ABPD}=-

31

20

+4=

49

20

，
當圓P與圓D內切時，如圖所示：

過D作DE⊥BC，交BC于點E，可得∠DEP=90°，
∵直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，
∴∠A=∠B=90°，
∴四邊形ABED為矩形，又AD=1，AB=2，
∴AB=DE=2，AD=BE=1，
在Rt△CED中，DC=2

2

，DE=2，
根據勾股定理得：EC=2，
∵圓D與圓P外切，圓D半徑為

1

2

，圓P半徑為x，
∴DP=x-

1

2

，
在Rt△DEP中，根據勾股定理得：DP²=DE²+EP²，
即（-

1

2

+x）²=2²+（2-x）²，
解得：x=

31

12

，
綜上，當x=

31

20

或

31

12

時，圓D與圓P相切．
即x=

31

12

時⊙D與⊙P內切．
此時S_{四邊形ABPD}=-

31

12

+4=

17

12

．

點評：本題主要考查了直角梯形的性質，函數自變量的取值范圍，相切兩圓的性質，梯形的面積及勾股定理的運用以及分類討論的數學思想運用，題目具有綜合性，難度不小．