Question

【題目】已知：如圖，正方形的邊長為，，分別平分正方形的兩個外角，且滿足，連接，，．

求證：；

求的度數．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）135°.

【解析】

（1）如圖（3）由條件可以得出∠BMA=∠3，∠ABM=∠ADN=135°，就可以得出△ABM∽△NDA，利用相似三角形的性質就可以得出BMDN=36；

（2）由△ABM∽△NDA，可以得出BM：DA=AB：ND，再由正方形的性質通過等量代換就可以得出△BCM∽△DNC．利用角的關系和圓周角的度數就可以求出結論；

（3）將△AND繞點A順時針旋轉90°得到△ABF，連接MF，證明△ABF≌△ADN．利用邊角的關系得出△BMF是直角三角形，由勾股定理就可以得出結論．

證明：

∵，分別平分正方形的兩個外角，

∴，

∵四邊形是正方形，

∴，，

∴，

∵，

，∵，

∴，

∴，

∴，

∴．

∵，

∴，∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴．