Question

如圖，在平面直角坐標系中，Rt△AOB的頂點坐標分別為A（-2，0），O（0，0），B（0，2），把Rt△AOB繞著點O順時針旋轉90°得到Rt△BOC，（點A旋轉到點B的位置），拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經過B，C兩點，與x軸的另一個交點為點D，頂點為點P，對稱軸為直線x=3，
（1）求該拋物線的解析式；
（2）連接BC，CP，PD，BD，求四邊形PCBD的面積；
（3）在拋物線上是否存在一點M，使得△MDC的面積等于四邊形PCBD的面積

1

3

？如果存在，求出點M的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由于拋物線的對稱軸是x=3，可設拋物線的解析式為頂點式，即設y=a（x-3）²+k，又拋物線經過B（0，2），C（2，0），用待定系數法即可求出拋物線的解析式；
（2）如果設對稱軸與x軸的交點為N，那么S_{四邊形PCBD}=S_△BCD+S_△pCD，根據三角形的面積公式即可求出四邊形PCBD的面積；
（3）首先根據△MDC的面積等于四邊形PCBD的面積

1

3

，求出M點的縱坐標的絕對值，再由M點在拋物線y=

1

4

x²-

3

2

x+2上，求出對應的x的值，進而得出點M的坐標．

解答：解：（1）由題意得：B（0，2），C（2，0），對稱軸x=3，
設拋物線的解析式為y=a（x-3）²+k，
∵拋物線經過B（0，2），C（2，0），
∴2=9a+k，0=a+k（2分）
解得：a=

1

4

，k=-

1

4

，
∴y=

1

4

（x-3）²-

1

4

，
∴拋物線的解析式為y=

1

4

x²-

3

2

x+2；

（2）設對稱軸與x軸的交點為N，
由圖可知：CD=2，
S_△BCD=

1

2

•CD•OB=

1

2

×2×2=2，
S_△pCD=

1

2

CD•PN=

1

2

CD•|P_y|=

1

2

×2×

1

4

=

1

4

，
∴S_{四邊形PCBD}=S_△BCD+S_△pCD=2+

1

4

=

9

4

；

（3）假設存在一點M，使得△MDC的面積等于四邊形PCBD的面積

1

3

．
即：S_△MCD=

1

3

S_{四邊形PCBD}，

1

2

CD•|M_y|=

9

4

×

1

3

，
|M_y|=

3

4

，（6分）
又∵點M在拋物線上，
∴|

1

4

x²-

3

2

x+2|=

3

4

，
∴

1

4

x²-

3

2

x+2=±

3

4

，
∴x²-6x+8=±3，
∴x²-6x+5=0或x²-6x+11=0，
由x²-6x+5=0，
得x₁=5，x₂=1，
由x²-6x+11=0，
∵b²-4ac=36-44=-8＜0，
∴此方程無實根．
當x₁=5時，y₁=

3

4

；當x₂=1時，y₂=

3

4

．
∴存在一點M（5，

3

4

），或（1，

3

4

）使得△MDC的面積等于四邊形PCBD的面積

1

3

．

點評：本題是二次函數的綜合題型，其中涉及到的知識點有拋物線的頂點公式和三角形的面積求法．在求有關動點問題時要注意分析題意分情況討論結果．