Question

如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線的頂點坐標是M（1，2），并且經過點C（0，3），拋物線與直線x=2交于點P，
（1）求拋物線的函數解析式；
（2）在直線上取點A（2，5），求△PAM的面積；
（3）拋物線上是否存在點Q，使△QAM的面積與△PAM的面積相等？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）題可以利用二次函數頂點式求出解析式；
（2）題拋物線與直線x=2交于點P，直接將兩式聯立可以求出；
（3）題存在兩種情況Q點在AM的上方或下方分別分析，可以求出．

解答：解：（1）設拋物線的函數解析式y=a（x-1）²+2．
把x=0，y=3代入y=a（x-1）²+2中，得a=1，
∴函數解析式y=（x-1）²+2．

（2）把x=2代入y=（x-1）²+2，得y=3．
∴P（2，3），AP=2．
∴S_△PAM=

1

2

×AP•MF，
=

1

2

×2×1=1

（3）由A（2，5），M（1，2）得到直線AM函數解析式y=3x-1．
①當點Q落在直線AM的下方時，過P作直線PD∥AM，交y軸于點D，
直線PD的函數解析式為y=3x+k．
把x=2，y=3代入y=3x+k得k=-3，
∴PD的函數解析式為y=3x-3．
∴

y=3x-3 y=x2-2x+3

得Q（3，6）．
∴此時拋物線上存在點Q（3，6），使△QMA與△APM的面積相等．
②P關于點A的對稱點的坐標是H（2，7）
當點Q落在直線AM的上方時，過H作直線HE∥AM，交y軸于點E，
直線HE的函數解析式為y=3x+k．
把（2，7）代入y=3x+k得k=1．
HE的函數解析式為y=3x+1．
∴

y=3x+1 y=x2-2x+3

得Q(

5+ 17

2

，

17+3 17

2

)或(

5- 17

2

，

17-3 17

2

)．
綜上所述，拋物線上存在點Q（3，6）或Q(

5+ 17

2

，

17+3 17

2

)或(

5- 17

2

，

17-3 17

2

)使△QMA與△APM的面積相等．

點評：此題主要考查了頂點式求二次函數解析式，以及一次函數與二次函數綜合應用，三角形同底等高面積相等，綜合性比較強．