Question

如圖，已知拋物線y=-x²+bx+c與x軸負半軸交于點A，與y軸正半軸交于點B，且OA=OB．
（1）求b+c的值；
（2）若點C在拋物線上，且四邊形OABC是平行四邊形，求拋物線的解析式；
（3）在（2）條件下，點P（不與A、C重合）是拋物線上的一點，點M是y軸上一點，當△BPM是等腰直角三角形時，求點M的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據拋物線y=-x²+bx+c與y軸交于B點，求出B點的坐標，再根據OA=OB，求出A點的坐標，將A點坐標代入解析式，整理后即可求出b+c的值；
（2）若四邊形OABC是平行四邊形，則CO∥AB，BC∥AO，用c表示出C點的坐標，把C點的坐標代入解析式，求出b和c的關系，結合（1）問，求出b和c的值，進而求出拋物線的解析式；
（3）△BPM是等腰直角三角形，設點P的坐標為（x，-x²+

1

2

x+

1

2

），由BM=PM，列出關于x的一元二次方程，求出x的值，即可求出M的坐標．

解答：解：（1）∵拋物線y=-x²+bx+c與y軸正半軸交于B點，
∴點B的坐標為（0，c），
∵OA=OB，
∴點A的坐標為（-c，0），將點A（-c，0）代入y=y=-x²+bx+c，得-c2-bc+c=0，
∵c≠0，整理得b+c=1；

（2）如圖，如果四邊形OABC是平行四邊形，那么CO∥AB，BC∥AO，
∴點C的坐標可以表示為（c，c），
當點C（c，c）落在拋物線y=-x²+bx+c上時，得-c²+bc+c=c，
整理得b=c，
結合（1）問c+b=1，得b=c=

1

2

，
故此時拋物線的解析式為y=-x²+

1

2

x+

1

2

；

（3）△BPM是等腰直角三角形，設點P的坐標為（x，-x²+

1

2

x+

1

2

），
由BM=PM，列方程

1

2

-（-x²+

1

2

x+

1

2

）=x，解得x=

3

2

或x=0（舍去），
所以當x=

3

2

時，y=-(

3

2

)2+

1

2

×

3

2

+

1

2

=-1，
點M₁的坐標為（0，-1），
同理當BP=PM時，求出M₂點的坐標為（0，-

5

2

），
綜上點M的坐標為（0，-1）或（0，-

5

2

）．

點評：本題主要考查二次函數的綜合題，解答本題的關鍵是求出b和c的兩個關系式，此題難度不大，特別是第三問的解答需要分類討論，需要同學們答題的時候注意．