Question

【題目】已知：點E為矩形ABCD外一點，連接AE，DE，且AE＝DE，連接EB，EC分別與AD相交于點F，G．

（1）如圖1，求證：∠ABE＝∠DCE；

（2）如圖2，若△BCE是等邊三角形，且AE＝AB，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2中四對全等的鈍角三角形．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）△ABE≌△DCE，△ABE≌△EAD，△EAD≌△EDC，△AFE≌△DGE

【解析】

（1）先由四邊形ABCD是矩形，得出AB=DC，∠BAD=∠CDA=90°．由EA=ED，得出∠EAD=∠EDA，根據等式的性質得到∠EAB=∠EDC．然后利用SAS即可證明△EAB≌△EDC；

（2）題意可知，△ABE，△DCE，△EAD都是頂角為120°的等腰三角形，且AB=AE=ED=CD，△AFE，△DGE都是頂角為120°的等腰三角形且AE=ED，由此即可判斷.

（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB＝DC，∠BAD＝∠CDA＝90°，

∵EA＝ED，

∴∠EAD＝∠EDA，

∴∠EAB＝∠EDC，

在△EAB與△EDC中，

，

∴△EAB≌△EDC（SAS），

∴∠ABE＝∠DCE；

（2）由題意可知，△ABE，△DCE，△EAD都是頂角為120°的等腰三角形，且AB＝AE＝ED＝CD，

∴△ABE≌△DCE，△ABE≌△EAD，△EAD≌△EDC，

∵△AFE，△DGE都是頂角為120°的等腰三角形且AE＝ED，

∴△AFE≌△DGE．

∴四對全等的鈍角三角形有：△ABE≌△DCE，△ABE≌△EAD，△EAD≌△EDC，△AFE≌△DGE．