Question

【題目】如圖，ABCD的對角線、交于點，順次聯(lián)結ABCD各邊中點得到的一個新的四邊形，如果添加下列四個條件中的一個條件：①⊥；②；③；④，可以使這個新的四邊形成為矩形，那么這樣的條件個數(shù)是（）

A. 1個；B. 2個；

C. 3個；D. 4個．

Answer 1

【答案】C

【解析】

根據(jù)順次連接四邊形的中點，得到的四邊形形狀和四邊形的對角線位置、數(shù)量關系有關，利用三角形中位線性質可得：當對角線垂直時，所得新四邊形是矩形．逐一對四個條件進行判斷．

解：順次連接四邊形的中點，得到的四邊形形狀和四邊形的對角線位置、數(shù)量關系有關，利用三角形中位線性質可得：當對角線垂直時，所得新四邊形是矩形．
①∵AC⊥BD，∴新的四邊形成為矩形，符合條件；

②∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO=OC，BO=DO．

∵C△ABO=C△CBO，∴AB=BC．

根據(jù)等腰三角形的性質可知BO⊥AC，∴BD⊥AC．所以新的四邊形成為矩形，符合條件；

③∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠CBO=∠ADO．

∵∠DAO=∠CBO，∴∠ADO=∠DAO．

∴AO=OD．

∴AC=BD，∴四邊形ABCD是矩形，連接各邊中點得到的新四邊形是菱形，不符合條件；

④∵∠DAO=∠BAO，BO=DO，

∴AO⊥BD，即平行四邊形ABCD的對角線互相垂直，

∴新四邊形是矩形．符合條件．

所以①②④符合條件．

故選：C．