Question

已知Rt△ABC，∠BAC=90°，點D是BC中點，AD=AC，BC=4

3

，過A，D兩點作⊙O，交AB于點E，
（1）求弦AD的長；
（2）如圖1，當圓心O在AB上且點M是⊙O上一動點，連接DM交AB于點N，求當ON等于多少時，三點D、E、M組成的三角形是等腰三角形？
（3）如圖2，當圓心O不在AB上且動圓⊙O與DB相交于點Q時，過D作DH⊥AB（垂足為H）并交⊙O于點P，問：當⊙O變動時DP-DQ的值變不變？若不變，請求出其值；若變化，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得到AD的長；
（2）連DE、ME，易得當ED和EM為等腰三角形EDM的兩腰，根據垂徑定理得推論得OE⊥DM，易得到△ADC為等邊三角形，得∠CAD=60°，則∠DAO=30°，∠DON=60°，然后根據含30°的直角三角形三邊的關系得DN=

1

2

AD=

3

，ON=

3

3

DN=1；
當MD=ME，DE為底邊，作DH⊥AE，由于AD=2

3

，∠DAE=30°，得到DH=

3

，∠DEA=60°，DE=2，于是OE=DE=2，OH=1，
又∠M=∠DAE=30°，MD=ME，得到∠MDE=75°，則∠ADM=90°-75°=15°，可得到∠DNO=45°，根據等腰直角三角形的性質得到NH=DH=

3

，則ON=

3

-1；
（3）連AP、AQ，DP⊥AB，得AC∥DP，則∠PDB=∠C=60°，再根據圓周角定理得∠PAQ=∠PDB，∠AQC=∠P，則∠PAQ=60°，∠CAQ=∠PAD，易證得△AQC≌△APD，得到
DP=CQ，則DP-DQ=CQ-DQ=CD，而△ADC為等邊三角形，CD=AD=2

3

，即可得到DP-DQ的值．

解答：解：（1）∵∠BAC=90°，點D是BC中點，BC=4

3

，
∴AD=

1

2

BC=2

3

；

（2）連DE、ME，如圖，∵DM＞DE，
當ED和EM為等腰三角形EDM的兩腰，
∴OE⊥DM，
又∵AD=AC，
∴△ADC為等邊三角形，
∴∠CAD=60°，
∴∠DAO=30°，
∴∠DON=60°，
在Rt△ADN中，DN=

1

2

AD=

3

，
在Rt△ODN中，ON=

3

3

DN=1，
∴當ON等于1時，三點D、E、M組成的三角形是等腰三角形；
當MD=ME，DE為底邊，如圖3，作DH⊥AE，
∵AD=2

3

，∠DAE=30°，
∴DH=

3

，∠DEA=60°，DE=2，
∴△ODE為等邊三角形，
∴OE=DE=2，OH=1，
∵∠M=∠DAE=30°，
而MD=ME，
∴∠MDE=75°，
∴∠ADM=90°-75°=15°，
∴∠DNO=45°，
∴△NDH為等腰直角三角形，
∴NH=DH=

3

，
∴ON=

3

-1；
綜上所述，當ON等于1或

3

-1時，三點D、E、M組成的三角形是等腰三角形；
（3）當⊙O變動時DP-DQ的值不變，DP-DQ=2

3

．理由如下：
連AP、AQ，如圖2，
∵∠C=∠CAD=60°，
而DP⊥AB，
∴AC∥DP，
∴∠PDB=∠C=60°，
又∵∠PAQ=∠PDB，
∴∠PAQ=60°，
∴∠CAQ=∠PAD，
∵AC=AD，∠AQC=∠P，
∴△AQC≌△APD，
∴DP=CQ，
∴DP-DQ=CQ-DQ=CD=2

3

．

點評：本題考查了垂徑定理和圓周角定理：平分弧的直徑垂直弧所對的弦；在同圓和等圓中，相等的弧所對的圓周角相等．也考查了等腰三角形的性質以及含30°的直角三角形三邊的關系．