Question

【題目】在中，，，過點作直線，將繞點順時針旋轉得到（點的對應點分別為），射線分別交直線于點.

（1）如圖，當與重合時，求的度數；

（2）如圖，設與的交點為，當為的中點時，求線段的長；

（3）在旋轉過程中，當點分別在的延長線上時，試探究四邊形的面積是否存在最小值.若存在，求出四邊形的最小面積；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）,見解析.

【解析】

1）由旋轉可得：AC=A'C=2，進而得到BC=，依據∠A'BC=90°，可得cos∠A'CB=，即可得到∠A'CB=30°，∠ACA'=60°；
（2）根據M為A'B'的中點，即可得出∠A=∠A'CM，進而得到PB=,BC=，依據tan∠Q=tan∠A=，即可得到BQ=BC×=2，進而得出PQ=PB+BQ=；
（3）依據S四邊形PA'B′Q=S△PCQ-S△A'CB'=S△PCQ-，即可得到S四邊形PA'B′Q最小，即S△PCQ最小，而S△PCQ=PQ×BC=PQ，利用幾何法或代數法即可得到S△PCQ的最小值=3，S四邊形PA'B′Q=3-．

解：⑴由旋轉可得：，∵∴，

∵，，∴，∴，∴，∴；

⑵∵為的中點，∴，由旋轉可得，，∴，

∴，∴，∵，

∴，

∴，∴；

⑶∵，∴最小，即最小，

∴，取的中點，∵，∴，即，

當最小時，最小，∴，即與重合時，最小，

∴，∴的最小值=3，；