Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ABC＝45°，AB＝4，BC＝9，直線MN平分平行四邊形ABCD的面積，分別交邊AD、BC于點M、N，若△BMN是以MN為腰的等腰三角形，則BN＝_____．

Answer 1

【答案】或5

【解析】

如圖，過點C作CE⊥AD于E，過點N作NF⊥AD于F，過點B作BG⊥AD，與DA的延長線交于點G．然后分2種情況：①當MN＝MB；②當MN＝BN時進行分析即可．

解：如圖，過點C作CE⊥AD于E，過點N作NF⊥AD于F，過點B作BG⊥AD，與DA的延長線交于點G．

∵直線MN平分平行四邊形ABCD的面積，

∴AM＝CN，

設AM＝CN＝x，則EF＝x，BN＝9﹣x

∵∠ABC＝45°，AB＝4，

∴GB＝GA＝4，DE＝4，

∴MF＝5﹣2x，

在Rt△BGM中，BM2＝42+（4+x）2，

在Rt△NFM中，MN2＝42+（5﹣2x）2，

∵△BMN是以MN為腰的等腰三角形，

∴①當MN＝MB時，易證Rt△MFN≌Rt△MGB（HL），

MF＝MG，

即5﹣2x＝x+4，

解得x＝，即CN＝，

∴BN＝BC﹣CN＝9﹣＝

②當MN＝BN時，MN2＝BN2，

∴42+（5﹣2x）2＝（9﹣x）2，

解得x1＝4，x2＝﹣（不符合題意，舍去），

MN2＝42+（5﹣2x）2＝16+（5﹣2×4）2＝25，

∴MN＝5，

∴BN＝5

故答案為 或5．