Question

【題目】已知，平分．

（1）在圖1中，若，求證：；

（2）在圖2中，若，則（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）成立，見解析

【解析】

（1）根據含30°角的直角三角形的性質進行證明；
（2）作CE⊥AM、CF⊥AN于E、F．根據角平分線的性質，得CE=CF，根據等角的補角相等，得∠CDE=∠ABC，再根據AAS得到△CDE≌△CBF，則DE=BF．再由∠MAN=120°，AC平分∠MAN，得到∠ECA=∠FCA=30°，從而根據30°所對的直角邊等于斜邊的一半，得到AE=AC，AF=AC，等量代換后即可證明AD+AB=AC仍成立．

（1）證明：∵∠MAN=120°，AC平分∠MAN，
∴∠CAD=∠CAB=60°．
又∠ABC=∠ADC=90°，
∴AD=AC，AB=AC，
∴AB+AD=AC；
（2）解：結論仍成立．

理由如下：
作CE⊥AM、CF⊥AN于E、F．

則∠CED=∠CFB=90°，
∵AC平分∠MAN，
∴CE=CF．
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠CDE=180°
∴∠CDE=∠ABC，
在△CDE和△CBF中，

，

∴△CDE≌△CBF（AAS），
∴DE=BF．
∵∠MAN=120°，AC平分∠MAN，
∴∠MAC=∠NAC=60°，

∴∠ECA=∠FCA=30°，
在Rt△ACE與Rt△ACF中，

則有AE=AC，AF=AC，
則AD+AB

=AD+AF+BF

=AD+AF+DE

=AE+AF

=AC+AC

=AC．
∴AD+AB=AC．