Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣與x軸交于A、B兩點（點A在點B左側），與y軸交于點C．

（1）求出△ABC的周長．

（2）在直線BC上方有一點Q，連接QC、QB，當△QBC面積最大時，一動點P從Q出發，沿適當路徑到達y軸上的M點，再沿與對稱軸垂直的方向到達對稱軸上的N點，連接BN，求QM+MN+BN的最小值．

（3）在直線BC上找點G，K是平面內一點，在平面內是否存在點G，使以O、C、G、K為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出K的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，滿足條件的點K的坐標為（，）或（，）或（，）．

【解析】

（1）利用待定系數法求出A，B，C的坐標即可解決問題．

（2）如圖1中，作QH∥OC交BC于H．設Q（m，m2m+3），構建二次函數求出△BCQ的面積最大時Q的坐標，如圖2中，作點Q關于y軸的對稱點Q'，在Q'Q上取一點Q″，使得Q'Q″=MN，連接Q″B交對稱軸于N，作NM⊥y軸于M，連接QM，則此時QM+MN+BN的值最小．求出BQ″的長即可解決問題．

（3）分二種情形：當OC=CG時，可得菱形OCGK，菱形OCG'K'．當CG″是菱形的對角線時，可得菱形OCK″G″，分別求解即可解決問題．

（1）對于拋物線y，

令x=0，得到y=3，可得C（0，3），

令y=0，得到x2﹣5x﹣6=0，解得：x=﹣1或6，

∴A（﹣1，0），B（6，0），

∴OA=1，OC=3，OB=6，

∴AB=7，AC2，BC3，

∴△ABC的周長=7+237+5．

（2）如圖1中，作QH∥OC交BC于H．

設Q（m，m2m+3），

∵C（0，3），B（6，0），

∴直線BC的解析式為yx+3，

∴H（m，m+3），

∴QHm2+3m，

∴S△QBCQH（Bx﹣x）（m2+3m）×6

（m﹣3）2，

∵0，

∴m=3時，△BCQ的面積最大，此時Q（3，6），

如圖2中，作點Q關于y軸的對稱點Q'，在Q'Q上取一點Q″，

使得Q'Q″=MN，

連接Q″B交對稱軸于N，作NM⊥y軸于M，連接QM，

則此時QM+MN+BN的值最小．

∵Q'（﹣3，6），Q'Q″，

∴Q″（，6），

BQ″，

∵QM=MQ'，四邊形Q'Q″NM是平行四邊形，

∴NQ″=MQ'，

∴MQ+MN+BN=MN+NQ″++BN=MN+BQ″，

∴QM+MN+BN的最小值為．

（3）如圖3中，

①當OC=CG時，可得菱形OCGK，菱形OCG'K'．

設G（m，）．

∵GK∥CO，GK=CO，

∴K（m，）．

∵OC=CG，

∴，

整理得：，

解得：m=，或m=．

當m=時，=，

此時G（，），K（，）；

當m=時，=，

此時G'（，），K'（，）；

②當CG″是菱形的對角線時，可得菱形OCK″G″，設對角線的交點為T．

設G″（m，）．

∵G″K″∥CO，G″K″=CO，

∴K″（m，）．

∵OG″=CO，

∴，

整理得：，

解得：m=0（舍去），或m=．

當m=時，=，此時G″（，），K″（，）．

綜上所述：滿足條件的點K的坐標為（，）或（，）或（，）．