Question

【題目】如圖，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角分線．

（1）以AB上的一點O為圓心，AD為弦在圖中作出⊙O．（不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）試判斷直線BC與⊙O的位置關系，并證明你的結論．
（3）若∠B=30°，計算S△DAC：S△ABC的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖所示，

（2）解：相切；理由如下：

證明：連結OD，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA

∵AD是BAC的角平分線，則∠OAD=∠DAC，

∴∠ODA=∠DAC，

∵AC⊥BC，則∠DAC+∠ADC=90°，

∴∠ODA+∠ADC=90°，即∠ODC=90°，

∴OD⊥BC，

即BC是⊙O的切線

（3）解：∵在Rt△ACD中，∠CAD=30°，

∴CD= AD，

∴BC=CD+BD=CD+AD=3CD，

∴S△DAC= ，S△ABC= = ；

∴S△DAC：S△ABC= ： =1：3

【解析】（1）以AD為弦就是圓過A、D兩點，作線段ADDE垂直平分線即可;（2）證切線須連結OD，可由AD是∠BAC的角平分線，可得出∠OAD=∠DAC，AC⊥BC，則∠DAC+∠ADC=90°；（3）由∠CAD=30°，得出CD= AD，利用面積公式可得出比值.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與圓的三種位置關系的相關知識，掌握直線與圓有三種位置關系：無公共點為相離；有兩個公共點為相交,這條直線叫做圓的割線；圓與直線有唯一公共點為相切，這條直線叫做圓的切線，這個唯一的公共點叫做切點．