Question

【題目】如圖1，矩形ABCD的兩條邊在坐標軸上，點D與坐標原點O重合，且AD=8，AB=6．如圖2，矩形ABCD沿OB方向以每秒1個單位長度的速度運動，同時點P從A點出發也以每秒1個單位長度的速度沿矩形ABCD的邊AB經過點B向點C運動，當點P到達點C時，矩形ABCD和點P同時停止運動，設點P的運動時間為t秒．

（1）當t=5時，請直接寫出點D，點P的坐標；
（2）當點P在線段AB或線段BC上運動時，求出△PBD的面積S關于t的函數關系式，并寫出相應t的取值范圍；
（3）點P在線段AB或線段BC上運動時，作PE⊥x軸，垂足為點E，當△PEO與△BCD相似時，求出相應的t值．

Answer 1

【答案】
（1）解：延長CD交x軸于M，延長BA交x軸于N，如圖1所示：

則CM⊥x軸，BN⊥x軸，AD∥x軸，BN∥DM，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠BAD=90°，CD=AB=6，BC=AD=8，

∴BD= =10，

當t=5時，OD=5，

∴BO=15，

∵AD∥NO，

∴△ABD∽△NBO，

∴ ，

即 ，

∴BN=9，NO=12，

∴OM=12﹣8=4，DM=9﹣6=3，PN=9﹣1=8，

∴D（﹣4，3），P（﹣12，8）

（2）解：如圖2所示：當點P在邊AB上時，BP=6﹣t，

∴S= BPAD= （6﹣t）×8=﹣4t+24；

②當點P在邊BC上時，BP=t﹣6，

∴S= BPAB= （t﹣6）×6=3t﹣18；

綜上所述：S=

（3）解：設點D（﹣ t， t）；

①當點P在邊AB上時，P（﹣ t﹣8， t），

若 時， ，

解得：t=6；

若 時， ，

解得：t=20（不合題意，舍去）；

②當點P在邊BC上時，P（﹣14+ t， t+6），

若 時， ，

解得：t=6；

若 時， ，

解得：t （不合題意，舍去）；

綜上所述：當t=6時，△PEO與△BCD相似．

【解析】（1） 運用三角形相似對應邊成比例可解決；（2）分兩種情況：點P在邊AB上或點P在邊BC上討論；（3）分兩種情況討論：點P在邊AB上或點P在邊BC上，由三角形相似性質得出對應邊乘比例構建關于t 的方程，解方程即可.
【考點精析】認真審題，首先需要了解坐標與圖形變化-平移(新圖形的每一點，都是由原圖形中的某一點移動后得到的，這兩個點是對應點；連接各組對應點的線段平行且相等)，還要掌握相似三角形的判定與性質(相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方)的相關知識才是答題的關鍵．