Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，O是坐標原點，直線與x軸，y軸分別交于B，C兩點，拋物線經過B，C兩點，與x軸的另一個交點為點A，動點P從點A出發沿AB以每秒3個單位長度的速度向點B運動，運動時間為t（0＜t＜5）秒．

（1）求拋物線的解析式及點A的坐標；

（2）在點P從點A出發的同時，動點Q從點B出發沿BC以每秒3個單位長度的速度向點C運動，動點N從點C出發沿CA以每秒個單位長度的速度向點A運動，運動時間和點P相同．

①記△BPQ的面積為S，當t為何值時，S最大，最大值是多少？

②是否存在△NCQ為直角三角形的情形？若存在，求出相應的t值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1） A(-3，0)；（2）時， . （3）t的值為或.

【解析】試題分析：（1）由直線y＝x+9與x軸，y軸分別交于B，C兩點，分別令x=0和y=0求出B與C的坐標，又拋物線經過B，C兩點，把求出的B與C的坐標代入到二次函數的表達式里得到關于b，c的方程，聯立解出b和c即可求出二次函數的解析式．又因A點是二次函數與x軸的另一交點令y=0即可求出點A的坐標．
（2）連接OM，PM與⊙O′相切作為題中的已知條件來做．由直徑所對的圓周角為直角可得∠OMC=90°從而得∠OMB=90°．又因為O′O是⊙O′的半徑，O′O⊥OP得到OP為⊙O′的切線，然后根據從圓外一點引圓的兩條切線，切線長相等可得OP=PM，根據等邊對等角得∠POM=∠PMO，然后根據等角的余角相等可得∠PMB=∠OBM，再根據等角對等邊得PM=PB，然后等量代換即可求出OP的長，加上OA的長即為點P運動過的路程AP，最后根據時間等于路程除以速度即可求出時間t的值．
（3）①由路程等于速度乘以時間可知點P走過的路程AP=3t，則BP=15-3t，點Q走過的路程為BQ=3t，然后aa過點Q作QD⊥OB于點D，證△BQD∽△BCO，由相似得比列即可表示出QD的長，然后根據三角形的面積公式即可得到S關于t的二次函數關系式，然后利用t=-時對應的S的值即可求出此時的最大值．
②要使△NCQ為直角三角形，必須滿足三角形中有一個直角，由BA=BC可知∠BCA=∠BAC，所以角NCQ不可能為直角，所以分兩種情況來討論：第一種，當角NQC為直角時，利用兩組對應角的相等可證△NCQ∽△CAO，由相似得比例即可求出t的值；第二種當∠QNC=90°時，也是證三角形的相似，由相似得比例求出t的值．

試題解析：（1）在中，令x=0，得y=9；令y=0，得x=12．∴C（0，9），B（12，0）．
又拋物線經過B，C兩點，∴，解得： ，∴

令y=0，解得：A(-3，0)

（2）①過點Q作QD⊥OB于點D．

∵OC⊥OB，∴QD∥OC．∴△BQD∽△BCO．∴
∵OC=9，BQ=3t，BC=15，∴，解得
又

∴（0＜t＜5）

當時， .

②存在△NCQ為直角三角形的情形.

∵BC=BA=15， ∴∠BCA=∠BAC，即∠NCQ=∠CAO

∴△NCQ欲為直角三角形，∠NCQ≠90°，只存在∠NQC=90°和∠QNC=90°兩種情況.

如圖,當∠NQC=90°時，∠NQC=∠COA=90°,∠NCQ=∠CAO

∴△NQC∽△COA，∴ ，∴，解得： ；

當∠QNC=90°時，∠QNC=∠COA=90°,∠NCQ=∠CAO

∴△NQC∽△OCA，∴ ，∴，解得：t=.

綜上，存在△NCQ為直角三角形的情形，t的值為或.