Question

【題目】在銳角△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，其外接圓的半徑為r．

（探究）

（1）如圖甲，作直徑BD，若r=3，發現的值為 ．

（2）猜想，，之間的關系，并證明你的猜想．

（應用）

（3）如圖乙，一貨輪在C處測得燈塔A在貨輪的北偏西30°的方向上，隨后貨輪以60海里/時的速度按北偏東30°的方向航行，半小時后到達B處，此時又測得燈塔A在貨輪的北偏西75°的方向上，求此時貨輪距燈塔A的距離AB．

Answer 1

【答案】（1）6；（2）==，證明見解析；（3）貨輪距燈塔的距離為海里．

【解析】

（1）在圖甲中，連接DC，推出∠A=∠D，在Rt△BCD中，利用銳角三角函數的定義求出sinD=，即可求得答案；

（2）由（1）推出，在Rt△DBE中，，同理：，，即可推出結論==；

（3）在圖乙中，先求出∠ACB=60°，∠ABC=75°，∠A=45°，再求出BC=30海里，由（2）所得結論，在△ABC中，通過，即可求出AB長度．

（1）如圖甲，連接DC，

則∠A=∠D，
∵BD是直徑，
∴∠BCD=90°，
∴在Rt△BCD中，
sinD=，
∴sinA=，
∴，
故答案為：6；

（2）==

理由如下：
如圖甲，
由（1）知，∠D=∠A，∠BCD=90°，
在Rt△DBE中，

同理：，

∴==

（3）作如圖乙所示輔助線，

則∠BHC=90°，
∴∠HBC=90°-∠HCB=60°，∠HBA=90°-75°=15°，
∴∠ABC=∠HBC+∠HBA=75°，
∴∠A=180°-∠ACB-∠ABC=45°，
由題意知，BC=60×0.5=30（海里），
由（2）知，在△ABC中，，

即，

解之得：AB=，

答：貨輪距燈塔的距離為海里．