Question

【題目】如圖1，在正方形ABCD中，點E、F分別是邊BC、AB上的點，且CE=BF，連接DE、CF．
（1）求證：DE=CF；
（2）在（1）條件下，如圖2，過點E作BG⊥DE，且EG=DE，連接FG，試判斷：FG與CE的數量關系和位置關系？給出證明．
（3）如圖3，若點E、F分別是CB、BA的延長線上的點，其他條件不變，（2）中結論是否仍然成立？請直接寫出你的判斷．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴BC=CD，∠ABC=∠DCE=90°，

在△CBF和△DCE中， ，

∴△CBF≌△DCE（SAS），

∴CF=DE；

（2）解：結論：GF=EC，GF∥EC，

理由：由（1）知，∠BCF=∠CDE，

∵∠BCF+∠DCF=90°，

∴∠CDE+∠DCF=90°，

∴CF⊥DE，

∵GE⊥DE，

∴EG∥CF，

∵EG=DE，CF=DE，

∴EG=CF，

∴四邊形EGFC是平行四邊形，

∴GF=EC，GF∥EC；

（3）解：結論仍然成立，GF=EC，GF∥EC，

理由：由（1）知，∠BCF=∠CDE，

∵∠BCF+∠DCF=90°，

∴∠CDE+∠DCF=90°，

∴CF⊥DE，

∵GE⊥DE，

∴EG∥CF，

∵EG=DE，CF=DE，

∴EG=CF，

∴四邊形EGFC是平行四邊形，

∴GF=EC，GF∥EC．

【解析】（1）由正方形的性質得出BC=CD，∠ABC=∠DCE=90°，進而判斷出△CBF≌△DCE（SAS），即可得出結論；（2）先判斷出CF⊥DE，進而判斷出EG∥CF，即可判斷出四邊形EGFC是平行四邊形，即可得出結論；（3）同（1）的方法即可得出結論．
【考點精析】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質的相關知識點，需要掌握若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積才能正確解答此題．