Question

在直角坐標平面內，已知拋物線y=a（x-1）²（a＞0）頂點為A，與y軸交于點C，點B是拋物線上另一點，且橫坐標為3，若△ABC為直角三角形時，求a的值．

Answer 1

分析：首先求出C和B的坐標，利用勾股定理可表示出AC，AB，BC，若△ABC為直角三角形時則BC²=AC²+AB²或 AB²=AC²+BC^2或AC²=AB²+BC²進而求出符合題意a的值即可．

解答：解：
∵y=a（x-1）²（a＞0）的頂點為A，所以點A的坐標為（1，0）．
由 x=0，得y=a，所以點C的坐標為（0，a），
由 x=3，得y=4a，所以點B的坐標為（3，4a），
所以有 

AC2=1+a2 AB2=4+16a2 BC2=9+9a2

，
（1）若 BC²=AC²+AB²
得  9+9a²=1+a²+4+16a²
即   a2=

1

2

，a=±

2

2

．因為a＞0，
∴a=

2

2

；
（2）若 AB²=AC²+BC²
得  4+16a²=1+a²+9+9a²
即   a²=1，a=±1．
∴a＞0，
∴a=1；       
（3）若 AC²=AB²+BC²
得  1+a²=4+16a²+9+9a²
即   a2=-

1

2

，無解．
綜上所述，當△ABC為直角三角形時，a的值為1或

2

2

．

點評：本題考查了拋物線和坐標軸的交代問題、勾股定理和勾股定理逆定理的運用和分類討論的數學思想的運用，題目的綜合性很好，難度中等．