Question

定義：如圖，若雙曲線y=

k

x

（k＞0）與它的其中一條對稱軸y=x相交于兩點A，B，則線段AB的長稱為雙曲線y=

k

x

（k＞0）的對徑．
（1）求雙曲線y=

1

x

的對徑；
（2）若某雙曲線y=

k

x

（k＞0）的對徑是10

2

．求k的值．

Answer 1

過A點作AC⊥x軸于C，如圖．
（1）解方程組

y= 1 x y=x

，得

x1=1 y1=1

，

x2=-1 y2=-1

，
∴A點坐標為（1，1），B點坐標為（-1，-1），
∴OC=AC=1，
∴OA=

2

OC=

2

，
∴AB=2OA=2

2

，
∴雙曲線y=

1

x

的對徑是2

2

；

（2）∵雙曲線的對徑為10

2

即AB=10

2

，OA=5

2

，
∴OA=

2

OC=

2

AC，
∴OC=AC=5，
∴點A坐標為（5，5），
把A（5，5）代入雙曲線y=

k

x

（k＞0）得k=5×5=25，
即k的值為25．