Question

【題目】操作：如圖①，△ABC是等邊三角形，△BDC是頂角∠BDC＝120°的等腰三角形，以D為頂點作一個60°角：（1）角的兩邊分別交AB、AC邊于M、N兩點，連接MN．探究：線段BM、MN、NC之間的關系，并加以證明．

（2）若角的兩邊分別交AB、CA的延長線于M、N兩點，連接MN。在圖②中畫出圖形，再直接寫出線段BM、MN、NC之間的關系．

Answer 1

【答案】(1)、MN=BM+CN；證明過程見解析；(2)、MN=CN-BM；圖形見解析.

【解析】

試題分析：(1)、延長NC到E，使CE=BM，連接DE，根據△ABC為等邊三角形，△BCD為等腰三角形，且∠BDC=120°，得出∠MBD=90°，結合BM=CE，BD=CD得出△CDE≌△BDM，從而得到∠CDE=∠BDM，DE=DM，然后得出△DMN≌△DEN，從而得出答案；(2)、根據題意畫出圖形，然后根據圖形得出三邊之間的關系.

試題解析：(1)、MN=BM+CN

如圖，延長NC到E，使CE=BM，連接DE，

∵△ABC為等邊三角形，△BCD為等腰三角形，且∠BDC=120°，

∴∠MBD=∠MBC+∠DBC=60°+30°=90°，

∠DCE=180°-∠ACD=180°-∠ABD=90°，又∵BM=CE，BD=CD，

∴△CDE≌△BDM，∴∠CDE=∠BDM，DE=DM，

∠NDE=∠NDC+∠CDE=∠NDC+∠BDM=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°，

∴△DMN≌△DEN，∴MN=NE=CE+CN=BM+CN

(2)、如圖 MN=CN-BM