Question

【題目】綜合與實踐：

如圖1，已知△ABC為等邊三角形，點D，E分別在邊AB、AC上，AD=AE，連接DC，點M，P，N分別為DE，DC，BC的中點．

（1）觀察猜想：在圖1中，線段PM與PN的數量關系是　 　，∠MPN的度數是　 　；

（2）探究證明：把△ADE繞點A逆時針方向旋轉到圖2的位置，

①判斷△PMN的形狀，并說明理由；

②求∠MPN的度數；

（3）拓展延伸：若△ABC為直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=10，點DE分別在邊AB，AC上，AD=AE=4，連接DC，點M，P，N分別為DE，DC，BC的中點．把△ADE繞點A在平面內自由旋轉，如圖3，請直接寫出△PMN面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）PM=PN；120°；（2）①△PMN是等腰三角形，理由見解析；②120°；（3） ；

【解析】

(1)根據三角形中位線的性質可證明PN∥BD，PM∥EC，PN=BD，PM=CE，由AD=AE即可證明PM=PN，根據平行線性質及外角性質可證明∠MPN=∠B+∠ACB=120°；（2）①連接BD、CE，可證明△BAD≌△CAE，可知BD=CE，∠ABD=∠ACE，根據三角形中位線可知PN∥BD，PM∥EC，PN=BD，PM=CE，可知PN=PM即可判斷△PMN是等腰三角形．②由平行線的性質可知∠PNC=∠DBC，∠DPM=∠A=ECD，進而可求出∠MPN=120°，（3）由旋轉知，∠BAD=∠CAE，可證明△ABD≌△ACE（SAS），可知∠ABD=∠ACE，BD=CE，通過（2）的方法可證PM=PN，∠DPM=∠DCE，∠PNC=∠DBC

根據外角性質可證明∠MPN=∠ABC+∠ACB，進而可知△PMN是等腰直角三角形，求△PMN面積的最大值即可.

（1）如圖1中，

∵AB=AC=BC，AD=AE，

∴BD=CE，∠B=∠ACB=60°，

∵點M，P，N分別為DE，DC，BC的中點，

∴PN∥BD，PM∥EC，PN=BD，PM=CE，

∴PN=PM，∠PNC=∠B，∠DPM=∠ACD，

∴∠MPN=∠MPD+∠DPN=∠ACD+∠PNC+∠DCB=∠ACD+∠DCB+∠B=∠ACB+∠B=120°，

故答案為PM=PN，120°．

（2）如圖2中，連接BD、EC．

①∵∠BAC=∠DAE=60°，

∴∠BAD=∠CAE，

∵BA=CA，DA=EA，

∴△BAD≌△CAE，

∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，

∵點M，P，N分別為DE，DC，BC的中點，

∴PN∥BD，PM∥EC，PN=BD，PM=CE，

∴PN=PM，

∴△PMN是等腰三角形．

②∵PN∥BD，PM∥EC

∴∠PNC=∠DBC，∠DPM=∠A=ECD，

∴∠MPN=∠MPD+∠DPN=∠ECD+∠PNC+∠DCB=∠ECD+∠DCB+∠DBC=∠ACE+ACD+∠DCB+∠DBC=∠ABD+∠ACB+∠DBC=∠ACB+∠ABC=120°．

（3）如圖3中，

由旋轉知，∠BAD=∠CAE，

∵AB=AC，AD=AE，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，

同（2）的方法，利用三角形的中位線得，PN=BD，PM=CE，

∴PM=PN，

同（2）的方法得，PM∥CE，

∴∠DPM=∠DCE，

同（2）的方法得，PN∥BD，

∴∠PNC=∠DBC

∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，

∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC

=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC

=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，

∵∠BAC=90°，

∴∠ACB+∠ABC=90°，

∴∠MPN=90°，

∴△PMN是等腰直角三角形，

∵PM=PN=BD，

∴BD最大時，PM最大，△PMN面積最大，

∴點D在BA的延長線上，

∴BD=AB+AD=14，

∴PM=7，

∴S△PMN最大=PM2=×72=.