Question

【題目】如圖，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分別過B，C向經過點A的直線EF作垂線，垂足為E，F．

（1）如圖1，當EF與斜邊BC不相交時，請證明EF=BE+CF；

（2）如圖2，當EF與斜邊BC相交時，其他條件不變，寫出EF、BE、CF之間的數量關系，并說明理由；

（3）如圖3，猜想EF、BE、CF之間又存在怎樣的數量關系，寫出猜想，不必說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2) EF= BE-CF，理由見解析；（3）EF=CF-BE，理由見解析.

【解析】

（1）求出△BEA≌△AFC，推出EA=FC，BE=AF，即可得出答案；

（2）求出△BEA≌△AFC，推出EA=FC，BE=AF，即可得出答案；

（3）求出△BEA≌△AFC，推出EA=FC，BE=AF，即可得出答案．

（1）證明：∵BE⊥EA，CF⊥AF，

∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，

∴∠EAB+∠CAF=90°，∠EBA+∠EAB=90°，

∴∠CAF=∠EBA，

在△ABE和△CAF中，

∴△BEA≌△AFC（AAS），

∴EA=FC，BE=AF，

∴EF=EA+AF=BE+CF．

（2）證明：∵BE⊥EA，CF⊥AF，

∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，

∴∠EAB+∠CAF=90°，∠ABE+∠EAB=90°，

∴∠CAF=∠ABE，

在△ABE和△ACF中，

∴△BEA≌△AFC（AAS），

∴EA=FC，BE=AF，

∵EF=AF-AE，

∴EF=BE-CF．

（3）EF=CF-BE，

理由是：∵BE⊥EA，CF⊥AF，

∴∠BAC=∠BEA=∠CFA=90°，

∴∠EAB+∠CAF=90°，∠ABE+∠EAB=90°，

∴∠CAF=∠ABE，

在△ABE和△ACF中，

，

∴△BEA≌△AFC（AAS），

∴EA=FC，BE=CF，

∵EF=EA-AF，

∴EF=CF-BE．