Question

【題目】 問題發現：如圖（1）在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠A=∠DEB=30°，BC=BE=6，Rt△BDE繞點B逆時針旋轉，H為CD的中點，當點C與點E重臺時，BH與AE的位置關系為______，BH與AE的數量關系為______；

問題證明：在Rt△BDE繞點B旋轉的過程中，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請就圖（2）的情形給出證明若不成立，請說明理由；

拓展應用：在Rt△BDE繞點B旋轉的過程中，當DE∥BC時，請直接寫出BH2的長．

Answer 1

【答案】問題發現：AE⊥BH，AE=2BH；問題證明：（1）中結論成立，證明詳見解析；拓展應用：12+3或12-3

【解析】

問題發現：如圖1中，結論：AE=2BH，AE⊥BH．解直角三角形求出AC，BH即可判斷．

問題證明：如圖2中，（1）中結論成立．延長BH到F使得HF=BH，連接CF．設AE交BF于O．證明△ABE∽△BCF即可解決問題．

拓展應用：分兩種情形：①如圖3-1中，當DE在BC的下方時，延長AB交DE于F．②當DE在BC的上方時，利用上面結論求出AE2即可解決問題．

解：問題發現：如圖1中，結論：AE=2BH，AE⊥BH．

理由：在Rt△ABC中，∵BC=6，∠A=30°，

∴AE=2BC=12，

在Rt△CDB中，∵∠DCB=30°，

∴CD==4，

∵CH=DH，

∴BH=CD=2，

∴==2，

∴AE=2BH．

故答案為AE⊥BH，AE=2BH．

問題證明：如圖2中，（1）中結論成立．

理由：延長BH到F使得HF=BH，連接CF．設AE交BF于O．

∵CH=DH，BH=HF，∠CHF=∠BHD，

∴△CHF≌△DHB（SAS），

∴BD=CF，∠F=∠DBH，

∴CF∥BD，

∵AB=BC，BE=BD，

∴BE=CF，

∴==，

∵CF∥BD，

∴∠BCF+∠CBD=180°，

∵∠ABC+∠DBE=∠ABD+∠CBD+∠CBD+∠CBE=∠CBD+∠ABE=180°，

∴∠BCF=∠ABE，

∴△ABE∽△BCF，

∴∠CBF=∠BAE，==，

∴AE=BF=2BH，

∵∠CBF+∠ABF=90°，

∴∠ABF+∠BAE=90°，

∴∠AOB=90°，

∴BH⊥AE．

拓展應用：如圖3-1中，當DE在BC的下方時，延長AB交DE于F．

∵DE∥BC

∴∠ABC=∠BFD=90°，

由題意BC=BE=6，AB=6，BD=2，DE=4，

∵BDBE=DEBF，

∴BF==3，

∴EF=BF=3，

∴AF=6+3，

∴AE2=AF2+EF2=（6+3）2+（3）2=144+36．

∵AE=2BH，

∴AE2=12BH2，

∴BH2=12+3

如圖3-2中，當DE在BC的上方時，同法可得AF=6-3，EF=3，

∴BH2==（=12-3．