Question

【題目】如圖1，在正方形中，點是的中點，點是邊上一點，且．

（1）求證：；

（2）將“正方形”改成“矩形”，其他條件均不變，如圖2，你認為仍然有“”嗎？若你同意，請以圖2為例加以證明；若你不同意，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）見解析

【解析】

(1)延長AE交BC的延長線于G點，如圖1，由正方形性質得AD∥CG，∠D=∠BCD=∠DCG=90°，再證明△ADE≌△GCE得到AE=GE，∠DAE=∠G，接著證明FA=FG，然后根據等腰三角形的性質得到結論；
(2)延長AE交BC的延長線于G點，如圖2，證明的方法與(1)一樣，也可得到EF⊥AE．

(1)延長交的延長線于點，如圖1，

∵四邊形是正方形，

∴，，

∵是的中點，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴，即；

(2)仍然有“”，證明如下：

延長交的延長線于點，如圖2，

∵四邊形是矩形，

∴，，

∵是的中點，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴，即．