Question

【題目】如圖，直線 分別交x軸、y軸于A、B兩點，已知點C坐標為（6,0），若直線AB上存在點P，使∠OPC=90°，則m的取值范圍是。

Answer 1

【答案】
【解析】解 ：如圖 ：

要使∠OPC=90，則直線AB必經過以OC為直徑的圓，
如圖直線AB切圓于P,
∴∠MPA=90°
∵點C(6,0)，
∴OC=6，
∴OM=PM=3，
∵直線y=x+m，
∴ A（,0）; B(0,m);
∴OA=,OB=m;
∴OB∶OA=2∶3，
∵∠OAB=∠PAM,∠AOB=∠APM=90，
∴△AOB∽△APM，
∴PM∶PA=OB∶OA=2∶3，
∴PA=，
∴MA=
∴OA=3+或3-
∵點A的橫坐標為m；
∴=3+或 =3-
∴m=2+或m=2-
∴m的取值范圍是2+≤m≤2-
故答案為 :2+≤m≤ 2-.
要使∠OPC=90，則直線AB必經過以OC為直徑的圓，如圖直線AB切圓于P,根據切線的性質得出∠MPA=90°，由C點的坐標得出OC=6，進而得出OM=PM=3，根據直線與坐標軸的交點的特點得出A,B兩點的坐標，進而得出OA,OB的長度，從而得出OB,與OA的比值，再判斷出△AOB∽△APM，由相似三角形對應邊成比例得出PM∶PA=OB∶OA=2∶3，進而求出PA,MA,OA的長度，根據點A的橫坐標，得出關于m的方程，求解得出m的值，進而就求出m的取值范圍。