Question

【題目】如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，點P、Q同時從點C出發，以1cm/s的速度分別沿CA、CB勻速運動．當點Q到達點B時，點P、Q同時停止運動．過點P作AC的垂線l交AB于點R，連接PQ、RQ，并作△PQR關于直線l對稱的圖形，得到△PQ′R．設點Q的運動時間為t（s），△PQ′R與△PAR重疊部分的面積為S（cm2）．

（1）t為何值時，點Q′恰好落在AB上？
（2）求S與t的函數關系式，并寫出t的取值范圍；
（3）S能否為 cm2？若能，求出此時的t值；若不能，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：連接QQ′，

∵PC=QC，∠C=90°，

∴∠CPQ=45°，又l⊥AC，

∴∠RPQ=∠RPC﹣∠CPQ=90°﹣45°=45°，

由對稱可得PQ′=PQ，∠QPQ′=90°，QQ′=2t，且QQ′∥CA，

∴∠BQQ′=∠BCA，又∠B=∠B，

∴△BQQ′∽△BCA，

∴ = ，即 = ，

解得：t=2.4；

（2）

解：當0＜t≤2.4時，過Q′作Q′D⊥l于D點，則Q′D=t，

又∵RP∥BC，

∴△RPA∽△BCA，

∴ ，即 = ，

∴RP=（8﹣t） = ，

∴S= RPQ′D= t=﹣ t2+3t；

當2.4＜t≤6時，記PQ′與AB的交點為E，過E作ED⊥l于D，

由對稱可得：∠DPE=∠DEP=45°，

又∵∠PDE=90°，

∴△DEP為等腰直角三角形，

∴DP=DE，

∵△RDE∽△BCA，

∴ = = ，即DR= DE，

∵△RPA∽△BCA，

∴ ，即 = ，

∴RP= ，

∴RP=RD+DP=DR+DE=DE+ DE= ，即 DE= ，

∴DE= ，

∴S= RPDE= = t2﹣ t+ ；

（3）

解：S能為 cm2，理由為：

若 t2﹣ t+ = （2.4＜t≤6），

整理得：t2﹣16t+57=0，

解得：t= =8± ，

∴t1=8+ （舍去），t2=8﹣ ；

若﹣ t2+3t= （0＜t≤2.4），

整理得：t2﹣8t+3=0，

解得：t= =4± ，

∴t1=4+ （舍去），t2=4﹣ ，

綜上，當S為 cm2時，t的值為（8﹣ ）或（4﹣ ）秒

【解析】（1）如圖所示，連接QQ′，由題意得到三角形PQC為等腰直角三角形，可得出∠CPQ=45°，再由l與AC垂直，得到∠RPQ也為45°，進而由對稱性得出PQ′=PQ，∠QPQ′=90°，QQ′=2t，且QQ′∥CA，由平行得到一對同位角相等，再由公共角相等，利用兩對對應角相等的兩三角形相似得到△BQQ′∽△BCA，由相似得比例，將各自的值代入列出關于t的方程，求出方程的解即可得到此時t的值；（2）由（1）求出t的值，分兩種情況考慮：當0＜t≤2.4時，過Q′作Q′D⊥l于D點，則Q′D=t，由RP與BC平行，利用兩直線平行得到兩對同位角相等，利用兩對對應角相等的兩三角形相似得到△RPA∽△BCA，由相似得比例表示出RP，利用三角形的面積公式表示出S關于t的關系式即可；當2.4＜t≤6時，記PQ′與AB的交點為E，過E作ED⊥l于D，由對稱性得到由對稱可得：∠DPE=∠DEP=45°，可得出三角形DEP為等腰直角三角形，得到DE=DP，由△RDE∽△BCA，利用相似得比例，表示出DR，再由△RPA∽△BCA，由相似得比例，表示出RP，由RP=RD+DP=RD+DE，將表示出的DR及RP代入，表示出DE，利用三角形的面積公式即可表示出S與t的關系式；（3）S能為 cm2 ， 具體求法為：當0＜t≤2.4時，令S= ，得出關于t的一元二次方程，求出方程的解得到t的值；當2.4＜t≤6時，令S= ，得出關于t的一元二次方程，求出方程的解得到t的值，經檢驗得到滿足題意t的值．
【考點精析】掌握求根公式和勾股定理的概念是解答本題的根本，需要知道根的判別式△=b2-4ac，這里可以分為3種情況：1、當△>0時，一元二次方程有2個不相等的實數根2、當△=0時，一元二次方程有2個相同的實數根3、當△<0時，一元二次方程沒有實數根；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．