Question

【題目】如圖，△ABC中，點O是AC邊上的一個動點，過點O作直線MN∥BC，設MN交∠BCA的平分線于點E，交∠BCA的外角平分線于點F．

（1）判斷OE與OF的大小關系？并說明理由？

（2）當點O運動何處時，四邊形AECF是矩形？并說出你的理由．

Answer 1

【答案】（1）證OE=OC，OF=OC，推出OE=OF，

（2）當點O運動到AC的中點時，四邊形AECF是矩形

【解析】試題分析：

(1)先判斷∠ECF=90°，再利用角平分線，平行線，等腰三角形的關系得到OE=OC，OF=OC；

(2)結合(1)中的結論，利用對角線相等的平行四邊形是矩形說明.

試題解析：

(1)OE=OF，理由如下：

∵CE，CF分別是∠ACB和∠ACB外角的平分線，

∴∠ACE=∠BCE=∠ACB，∠ACF=∠GCF=∠ACG.

∴∠ECF=∠ACE+∠ACF=∠ACB+∠ACG=(ACB+∠ACG)=∠BCG=90°.

∵MN∥BC，∴∠FEC=∠BCE，∴∠FEC=∠ACE，∴OE=OC.

同理OF=OC，所以OE=OF.

(2)由(1)得，OC=OE=OF，所以當OA=OC時，對角線AC與EF互相平分且相等，而對角線相等的平行四邊形是矩形，則當點O運動到AC的中點時，四邊形AECF是矩形.