Question

【題目】如圖，直線y＝x+6與x軸、y軸分別交于A，B兩點，將直線l1沿著y軸正方向平移一段距離得到直線l2交y軸于點M，且l1與l2之間的距離為3，點C（x，y）是直線11上的一個動點，過點C作AB的垂線CD交y軸于點D．

（1）求直線l2的解析式；

（2）當C運動到什么位置時，△AOD的面積為21，求出此時點C的坐標；

（3）連接AM，將△ABM繞著點M旋轉得到△A'B'M'，在平面內是否存在一點N．使四邊形AMA'N為矩形？若存在，求出點N的坐標：若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x+6+2；（2）C（﹣，）；（3）存在，N點在x軸上方時N坐標：（﹣6﹣8，6）,N點在x軸下方時N點坐標：（6﹣4，﹣6）.

【解析】

（1）如圖1中，作BH⊥直線l2于H．解直角三角形求出點M坐標即可解決問題;

（2）如圖2中，連接AD，設D（0，m）．利用三角形的面積公式構建方程求出m，再求出直線CD的解析式，利用方程組即可解決問題;

（3）如圖3中，分兩種情形構造全等三角形解決問題即可．

解：（1）如圖1中，作BH⊥直線l2于H．

∵直線y＝x+6與x軸、y軸分別交于A，B兩點，

∴B（0，6），A（﹣6，0），

∴OB＝6，OA＝6，

∴tan∠BAO＝，

∴∠BAO＝30°，

∵∠AOB＝90°，

∴∠ABO＝60°，

∵BH⊥l2，l1∥l2，

∴BH⊥l1，

∴∠ABH＝90°，

∴∠HBM＝30°，

∵BH＝3，

∴BM＝＝2，

∴M（0，6+2），

∴直線l2的解析式為y＝x+6+2．

（2）如圖2中，連接AD，設D（0，m）．

由題意：，

∴××|m|＝，

∴m＝±7，

∴D（0，7）或（0，﹣7），

當D（0，7）時，∵DC⊥AB，

∴直線CD的解析式為y＝﹣x+7，

由，解得，

∴C（，）．

當D（0，﹣7）時，直線CD的解析式為y＝﹣x﹣7，

由，解得，

∴C（﹣，）．

（3）存在, 存在，N點在x軸上方時N坐標：（﹣6﹣8，6）,N點在x軸下方時N點坐標：（6﹣4，﹣6），原因如下：

情況一：當N點在x軸上方時, 如下圖，作NH⊥x軸，垂足為點H：

∵四邊形AMA′N是矩形，MA＝MA′，

∴四邊形AMA′N是正方形，

∴AN＝AM，

∵∠AHN＝∠MAN＝∠AOM＝90°，

∴∠HAN+∠OAM＝90°，∠OAM+∠AMO＝90°，

∴∠HAM＝∠AMO，

∴△AHN≌△MOA（AAS），

∴NH＝OA＝6，AH＝OM＝6+2，

∴OH＝6+8，

∴N（﹣6﹣8，6），

情況二：當點N′在x軸下方時，作N′H′⊥x軸，垂足為點H′：

∵四邊形AMA′′N′是矩形，MA＝MA′′，

∴四邊形AMA′′N′是正方形，

∴AN′＝AM，

∵∠AH′N′＝∠MAN′＝∠AOM＝90°，

∴∠H′AN′+∠OAM＝90°，∠OAM+∠AMO＝90°，

∴∠H′AN′＝∠AMO，

∴△AH′N′≌△MOA（AAS），

∴N′H′＝OA＝6，AH′＝OM＝6+2，

∴OH＝AH′-OA=6-4，

∴N′（6﹣4，﹣6）．

綜上所述，存在，N點在x軸上方時N坐標：（﹣6﹣8，6）,N點在x軸下方時N點坐標：（6﹣4，﹣6）.