Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，直線與軸、軸分別交于點、，點為軸負半軸上一點， 于點交軸于點．已知拋物線經過點、、．

（）求拋物線的函數式．

（）連接，點在線段上方的拋物線上，連接、，若和面積滿足，求點的坐標．

（）如圖， 為中點，設為線段上一點（不含端點），連接．一動點從出發，沿線段以每秒個單位的速度運動到，再沿著線段以每秒個單位的速度運動到后停止．若點在整個運動過程中用時最少，請直接寫出最少時間和此時點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為；（2）點的坐標為或；（3）此時， ．

【解析】試題分析：（1）先證明△AON∽△COB，利用相似比計算出OA=1，得到A（-1，0），然后利用交點式可求出拋物線解析式為y=-x2+x+3；

（2）先利用待定系數法求出直線BC的解析式為y=-x+3，作PQ∥y軸交BC于Q，如圖1，設P（x，-x2+x+3），則Q（x，-x+3），再計算出DQ=-x2+3x，根據三角形面積公式得S△BCD=S△CDQ+S△BDQ=-x2+6x，然后根據S△BCD=S△ABC得到-x2+6x=××（4+1）×3，然后解方程求出x即可得到D點坐標；

（3）過做平行軸交拋物線于，過做，可證，由此，過作的垂線，交點即為點，可得值和點坐標．

試題解析：（ ），

，

∴，

且，

∴，

，

， ， ，

∴，

∴．

設拋物線解析式為，

將代入得，

∴拋物線解析式為．

（）設直線的解析式為，

把， 代入得，

解得，

∴直線的解析式為，

作軸交于，如圖1，設

，則，

，

∴，

∵，

∴，

整理得，解得， ，

∴點的坐標為或．

（）設運動時間為，則

，

，

過做平行軸交拋物線于，過做，

∵，

∴，

，

∴，

∴，

∴．

過作的垂線，交點即為點，

此時，

．