Question

【題目】如圖①，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點D，可知：∠BAD＝∠C(不需要證明)；

(1)如圖②，∠MAN＝90°，射線AE在這個角的內部，點B、C分別在∠MAN的邊AM、AN上，且AB＝AC，CF⊥AE于點F，BD⊥AE于點D.求證：△ABD≌△CAF；

(2)如圖③，點B、C分別在∠MAN的邊AM、AN上，點E、F在∠MAN內部的射線AD上，∠1、∠2分別是△ABE與△CAF的外角．已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC.求證：△ABE≌△CAF.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

(1)依據三角形的內角和定理和∠MAN＝90°，易得出求出∠ABD＝∠CAF，從而再結合其他條件依據AAS證兩三角形全等即可；(2)根據已知條件和三角形的外角性質求出∠ABE＝∠CAF，∠BAE＝∠FCA，根據ASA證兩三角形全等即可.

（1）∵ ∠MAN=90°

∴ ∠BAD+∠CAF=90°.

∵CF⊥AE，BD⊥AE BE＝CF，

∴ ∠BDA=∠CFA= 90°， ∠BAD+∠DBA=90°

∴ ∠DBA＝∠CAF，

又∵在△ABD和△CAF中，AB＝AC， ∠BDA=∠CFA，∠DBA＝∠CAF，

∴，∴△ABD≌△CAF(AAS)．

（2）∵∠1、∠2分別是△ABE與△CAF的外角

∴ ∠BEA＝∠CFA

∵∠1是△ABE的外角，∠1=∠BAC

∴ ∠1＝∠EBA+∠BAE

∠BAC＝∠EBA+∠CAF

∴ ∠EBA＝∠CAF，

又∵在△ABE和△CAF中，AB＝AC， ∠BEA＝∠CFA，∠EBA＝∠CAF，

∴，∴△ABE≌△CAF(AAS)．