Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，BC2，∠BAC30°，斜邊AB的兩個端點分別在相互垂直的射線OM，ON上滑動，下列結論： ①若C，O兩點關于AB對稱，則OA；②C，O兩點距離的最大值為4；③若AB平分CO，則AB⊥CO；④斜邊AB的中點D運動路徑的長為.

其中正確的是（ ）

A. ①② B. ①②③ C. ①③④ D. ①②④

Answer 1

【答案】D

【解析】分析：①先根據直角三角形30°的性質和勾股定理分別求AC和AB，由對稱的性質可知：AB是OC的垂直平分線，所以
②當OC經過AB的中點E時，OC最大，則C、O兩點距離的最大值為4；
③如圖2，當∠ABO=30°時，易證四邊形OACB是矩形，此時AB與CO互相平分，但所夾銳角為60°，明顯不垂直，或者根據四點共圓可知：A、C、B、O四點共圓，則AB為直徑，由垂徑定理相關推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于這條弦，但當這條弦也是直徑時，即OC是直徑時，AB與OC互相平分，但AB與OC不一定垂直；
④如圖3，半徑為2，圓心角為90°，根據弧長公式進行計算即可．

詳解：在Rt△ABC中,∵

∴

①若C.O兩點關于AB對稱，如圖1，

∴AB是OC的垂直平分線，

則

所以①正確；

②如圖1，取AB的中點為E，連接OE、CE，

∵

∴

當OC經過點E時，OC最大，

則C.O兩點距離的最大值為4；

所以②正確；

③如圖2,當時,

∴四邊形AOBC是矩形，

∴AB與OC互相平分，

但AB與OC的夾角為不垂直，

所以③不正確；

④如圖3,斜邊AB的中點D運動路徑是：以O為圓心,以2為半徑的圓周的

則：

所以④正確；

綜上所述，本題正確的有：①②④；

故選D.