Question

【題目】如圖， 四邊形OABC為直角梯形，A（4，0），B（3，4），C（0，4）． 點從 出發以每秒2個單位長度的速度向運動；點從同時出發，以每秒1個單位長度的速度向運動．其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動．過點作垂直軸于點，連結AC交NP于Q，連結MQ．

【1】點 （填M或N）能到達終點；

【1】求△AQM的面積S與運動時間t的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍，當t為何值時，S的值最大；

【1】是否存在點M，使得△AQM為直角三角形？若存在，求出點M的坐標，若不存在，

說明理由．

Answer 1

【答案】

【1】點M

【1】經過t秒時，， ，則，

∵==，∴ ∴

∴

∴ ∵∴當時，S的值最大．

【1】存在。

設經過t秒時，NB=t，OM=2t ，則，∴==

①若，則是等腰Rt△底邊上的高，

∴是底邊的中線 ∴，∴，∴， ∴點的坐標為（1，0）

②若，此時與重合，∴，∴，

∴ ∴點的坐標為（2，0）

【解析】

【1】由于點M比點N先出發并且點M的速度比點N大，可知點M能到達終點．

【1】經過t秒時可得NB=y，OM-2t．根據∠BCA=∠MAQ=45°推出QN=CN，PQ的值．求出S與t的函數關系式后根據t的值求出S的最大值．

【1】本題分兩種情況討論（若∠AQM=90°，PQ是等腰Rt△MQA底邊MA上的高；

若∠QMA=90°，QM與QP重合）求出t值．