Question

【題目】設函數y=kx2+（2k+1）x+1（k為實數）
（1）寫出其中的兩個特殊函數，使它們的圖象不全是拋物線，并在同一直角坐標系中，用描點法畫出這兩個特殊函數的圖象；
（2）根據所畫圖象，猜想出：對任意實數k，函數的圖象都具有的特征，并給予證明；
（3）對任意負實數k，當x＜m時，y隨著x的增大而增大，試求出m的一個值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如兩個函數為y=x+1，y=x2+3x+1，

函數圖形如圖所示

（2）

解：不論k取何值，函數y=kx2+（2k+1）x+1的圖象必過定點（0，1），（﹣2，﹣1），

且與x軸至少有1個交點．證明如下：

將x=0時代入函數中解出y=1，x=﹣2時代入函數中解出y=﹣1．

所以函數的圖象必過定點（0，1），（﹣2，﹣1）．

又因為當k=0時，函數y=x+1的圖象與x軸有一個交點；

當k≠0時，

∵△=（2k+1）2﹣4k=4k2+1＞0，所以函數圖象與x軸有兩個交點．

所以函數y=kx2+（2k+1）x+1的圖象與x軸至少有1個交點

（3）

解：只要寫出m≤﹣1的數都可以．

∵k＜0，

∴函數y=kx2+（2k+1）x+1的圖象在對稱軸直線x=﹣ 的左側，y隨x的增大而增大．

根據題意，得m≤﹣ ，而當k＜0時，﹣ =﹣1﹣ ＞﹣1，

所以m≤﹣1

【解析】（1）令k=0或1，分別得到兩個特殊函數，畫出圖象即可；（2）猜想：不論k取何值，函數y=kx2+（2k+1）x+1的圖象必過定點（0，1），（﹣2，﹣1）．由解析式變形，得y=k（x2+2x）+（x+1），可知當x2+2x=0，即x=0或﹣2時，函數值與k的取值無關，此時y=1或﹣1，可得定點坐標；（3）只求m的一個值即可．當k＜0時，拋物線對稱軸為直線x=﹣ ，在對稱軸左側，y隨x的增大而增大，根據題意，得m≤﹣ ，而當k＜0時，﹣ =﹣1﹣ ＞﹣1，可確定m的范圍，在范圍內取m的一個值即可．
【考點精析】利用一次函數的圖象和性質和二次函數的圖象對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一次函數是直線，圖像經過仨象限；正比例函數更簡單,經過原點一直線；兩個系數k與b,作用之大莫小看，k是斜率定夾角,b與Y軸來相見,k為正來右上斜,x增減y增減；k為負來左下展,變化規律正相反；k的絕對值越大,線離橫軸就越遠；二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點．