Question

【題目】如圖1，△ABC中，AB=AC=6，BC=4，點D、E分別在邊AB、AC上，且AD=AE=1，連接DE、CD，點M、N、P分別是線段DE、BC、CD的中點，連接MP、PN、MN．

（1）求證：△PMN是等腰三角形；

（2）將△ADE繞點A逆時針旋轉，

①如圖2，當點D、E分別在邊AC兩側時，求證：△PMN是等腰三角形；

②當△ADE繞點A逆時針旋轉到第一次點D、E、C在一條直線上時，請直接寫出此時BD的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②.

【解析】

（1）利用三角形的中位線得出PM=CE，PN=BD，進而判斷出BD=CE，即可得出結論PM=PN；

（2）①先證明△ABD≌△ACE，得BD=CE，同理根據三角形中位線定理可得結論；

②如圖4，連接AM，計算AN和DE、EM的長，如圖3，證明△ABD≌△CAE，得BD=CE，根據勾股定理計算CM的長，可得結論

（1）如圖1，∵點N，P是BC，CD的中點，

∴PN∥BD，PN=BD，

∵點P，M是CD，DE的中點，

∴PM∥CE，PM=CE，

∵AB=AC，AD=AE，

∴BD=CE，

∴PM=PN，

∴△PMN是等腰三角形；

（2）①如圖2，∵∠DAE=∠BAC，

∴∠BAD=∠CAE，

∵AB=AC，AD=AE，

∴△ABD≌△ACE，

∵點M、N、P分別是線段DE、BC、CD的中點，

∴PN=BD，PM=CE，

∴PM=PN，

∴△PMN是等腰三角形；

②當△ADE繞點A逆時針旋轉到第一次點D、E、C在一條直線上時，如圖3，

∵∠BAC=∠DAE，

∴∠BAD=∠CAE，

∵AB=AC，AD=AE，

∴△ABD≌△CAE，

∴BD=CE，

如圖4，連接AM，

∵M是DE的中點，N是BC的中點，AB=AC，

∴A、M、N共線，且AN⊥BC，

由勾股定理得：AN==4，

∵AD=AE=1，AB=AC=6，

∴=，∠DAE=∠BAC，

∴△ADE∽△AEC，

∴，

∴，

∴AM=，DE=，

∴EM=，

如圖3，Rt△ACM中，CM===，

∴BD=CE=CM+EM=．