Question

【題目】如圖，Rt△CEF中，∠C=90°，∠CEF, ∠CFE外角平分線交于點A，過點A分別作直線CE、CF的垂線，B、D為垂足.

(1)求證:四邊形ABCD是正方形，

(2)已知AB的長為6，求(BE+6)(DF+6)的值，

(3)借助于上面問題的解題思路，解決下列問題:若三角形PQR中，∠QPR=45°，一條高是PH，長度為6,QH=2，則HR= .

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）72；（3）3.

【解析】

（1）根據三個角是直角的四邊形先證得四邊形ABCD是矩形，再過點A作AG⊥EF于點G，根據角平分線的性質得出AB=AG= AD，問題即得解決；

（2）如圖1，通過兩次運用HL可證得EF=BE+DF，再設BE=x，DF=y，在Rt△CEF中，根據勾股定理得出關于x、y的等式，再整體代入展開整理后的式子即可得到答案；

（3）如圖3，作△PRH關于PR對稱的△PRN，作△PQH關于PQ對稱的△PQM，NR和MQ的延長線交于點K，先根據鄰邊相等的矩形是正方形證明四邊形PNKM是正方形，再根據（2）的結論即可求出結果.

解：（1）證明：∵AD⊥CD，AB⊥CB，∠C=90°，

∴四邊形ABCD是矩形，

如圖1，過點A作AG⊥EF于點G，

∵AF平分∠DFE，AD⊥CD，

∴AG=AD，

同理可得：AG=AB，

∴AB=AD.

∴矩形ABCD是正方形.

（2）在Rt△ADF和Rt△AGF中，

∴Rt△ADF≌Rt△AGF（HL）.

∴DF=GF，

同理可得BE=GE.

∴EF=GE+GF=BE+DF.

設BE=EG=x，DF=FG=y，則CE=6－x，CF=6－y，如圖2：

在Rt△CEF中，根據勾股定理得：，即，整理得：.

∴.

（3）如圖3，作△PRH關于PR對稱的△PRN，作△PQH關于PQ對稱的△PQM，NR和MQ的延長線交于點K，則PN=PH=6，PM=PH=6，∠2=∠1，∠4=∠3，∠N=∠PHR=90°，∠M=∠PHQ=90°，MQ=HQ=2，NR=HR，

∴PN=PM=6，

∵∠1+∠3=45°，

∴∠1+∠2+∠3+∠4=90°，即∠NPM=90°，

∴四邊形PNKM是正方形.

∵RQ=RH+HQ=NR+QM，

∴由（2）題的結論知：，

即，解得，即HR=3.

故答案為3.