Question

【題目】如圖1在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經過點C，且AD⊥MN于點D，BE⊥MN于點E．

（1）求證：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE．

（2）當直線MN繞點C旋轉到圖2的位置時，DE、AD、BE又怎樣的關系？并加以證明．

Answer 1

【答案】（1）①見解析，②見解析；（2）DE=AD－BE，證明見解析.

【解析】

（1）①先利用同角的余角相等證得∠DAC=∠ECB，再根據AAS即可證得結論；②根據①的結論可得AD=CE，DC=EB，進一步即得結論；

（2）同（1）的證法得出△ADC≌△CEB，根據全等三角形的性質可得AD=CE，DC=BE，進一步即可得出結論.

（1）證明：①∵∠ACD+∠ACB+∠BCE=180°，∠ACB=90°，

∴∠ACD+∠BCE=90°．

∵AD⊥MN，BE⊥MN，

∴∠ADC=∠CEB=90°，∠DAC+∠ACD=90°，

∴∠DAC=∠ECB，

在△ADC和△CEB中，

∴△ADC≌△CEB（AAS）.

②由①知：△ADC≌△CEB，

∴AD=CE，DC=EB，

∵DE=CE+DC，

∴DE=AD+EB；

（2）DE=AD－BE.

證明：∵AD⊥CE，BE⊥CE，

∴∠ADC=∠BEC=90°，∠EBC+∠ECB=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ECB+∠ACE=90°，

∴∠ACD=∠EBC.

在△ADC和△CEB中，

∴△ADC≌△CEB（AAS），

∴AD=CE，DC=BE，

∴DE=CE－CD=AD－BE．