Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，已知A（a，0），B（b，3），C（4，0），且滿足（a+b）2+|a﹣b+6|=0，線段AB交y軸于F點．

（1）求點A、B的坐標；

（2）點D為y軸正半軸上一點，若ED∥AB，且AM，DM分別平分∠CAB，∠ODE，如圖 2，求∠AMD的度數；

（3）如圖 3，（也可以利用圖 1）①求點F的坐標；②坐標軸上是否存在點P，使得△ABP和△ABC的面積相等？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣3，0），B（3，3）；（2）45°；（3）（0，5）或（0，﹣2）或（﹣10，0）．

【解析】

（1）根據非負數的性質可求出a和b，即可得到點A和B的坐標；
（2）由平行線的性質結合角平分線的定義可得則∠NDM-∠OAN=45°，再利用∠OAN=90°-∠ANO=90°-∠DNM，得到∠NDM-（90°-∠DNM）=45°，所以∠NDM+∠DNM=135°，然后根據三角形內角和定理得180°-∠NMD=135°，可求得∠NMD=45°；
（3）①連結OB，如圖3，設F（0，t），根據S△AOF+S△BOF=S△AOB，得到關于t的方程，可求得t的值，則可求得點F的坐標；②先計算△ABC的面積，再分點P在y軸上和在x軸上討論．當P點在y軸上時，設P（0，y），利用S△ABP=S△APF+S△BPF，可解得y的值，可求得P點坐標；當P點在x軸上時，設P（x，0），根據三角形面積公式得，同理可得到關于x的方程，可求得x的值，可求得P點坐標．

（1）∵（a+b）2+|a﹣b+6|=0， ∴a+b=0，a﹣b+6=0，

∴a=﹣3，b=3， ∴A（﹣3，0），B（3，3）；

（2）如圖2，

∵AB∥DE，∴∠ODE+∠DFB=180°，

而∠DFB=∠AFO=90°﹣∠FAO，

∴∠ODE+90°﹣∠FAO=180°，

∵AM，DM分別平分∠CAB，∠ODE，

∴∠OAN=∠FAO，∠NDM=∠ODE，

∴∠NDM﹣∠OAN=45°，

而∠OAN=90°﹣∠ANO=90°﹣∠DNM，

∴∠NDM﹣（90°﹣∠DNM）=45°，

∴∠NDM+∠DNM=135°，∴180°﹣∠NMD=135°，

∴∠NMD=45°， 即∠AMD=45°；

（3）①連結OB，如圖3，

設F（0，t），∵S△AOF+S△BOF=S△AOB，

∴3t+t3=×3×3，解得t=，

∴F點坐標為（0，）；

②存在．

△ABC的面積=×7×3=，

當P點在y軸上時，設P（0，y），

∵S△ABP=S△APF+S△BPF，

∴|y﹣|3+|y﹣|3=，解得y=5或y=﹣2，

∴此時P點坐標為（0，5）或（0，﹣2）；

當P點在x軸上時，設P（x，0），

則|x+3|3=，解得x=﹣10或x=4，

∴此時P點坐標為（﹣10，0），

綜上可知存在滿足條件的點P，其坐標為（0，5）或（0，﹣2）或（﹣10，0）．