Question

【題目】已知在平面直角坐標系xOy中（如圖），已知拋物線y=﹣x2+bx+c經過點A（2，2），對稱軸是直線x=1，頂點為B．

（1）求這條拋物線的表達式和點B的坐標；
（2）點M在對稱軸上，且位于頂點上方，設它的縱坐標為m，聯結AM，用含m的代數式表示∠AMB的余切值；
（3）將該拋物線向上或向下平移，使得新拋物線的頂點C在x軸上．原拋物線上一點P平移后的對應點為點Q，如果OP=OQ，求點Q的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線的對稱軸為x=1，

∴x=﹣ =1，即 =1，解得b=2．

∴y=﹣x2+2x+c．

將A（2，2）代入得：﹣4+4+c=2，解得：c=2．

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+2．

配方得：y=﹣（x﹣1）2+3．

∴拋物線的頂點坐標為（1，3）

（2）

解：如圖所示：過點A作AC⊥BM，垂足為C，則AC=1，C（1，2）．

∵M（1，m），C（1，2），

∴MC=m﹣2．

∴cot∠AMB= =m﹣2

（3）

解：∵拋物線的頂點坐標為（1，3），平移后拋物線的頂點坐標在x軸上，

∴拋物線向下平移了3個單位．

∴平移后拋物線的解析式為y=﹣x2+2x﹣1，PQ=3．

∵OP=OQ，

∴點O在PQ的垂直平分線上．

又∵QP∥y軸，

∴點Q與點P關于x軸對稱．

∴點Q的縱坐標為﹣ ．

將y=﹣ 代入y=﹣x2+2x﹣1得：﹣x2+2x﹣1=﹣ ，解得：x= 或x= ．

∴點Q的坐標為（ ，﹣ ）或（ ，﹣ ）

【解析】（1）依據拋物線的對稱軸方程可求得b的值，然后將點A的坐標代入y=﹣x2+2x+c可求得c的值；（2）過點A作AC⊥BM，垂足為C，從而可得到AC=1，MC=m﹣2，最后利用銳角三角函數的定義求解即可；（3）由平移后拋物線的頂點在x軸上可求得平移的方向和距離，故此QP=3，然后由點QO=PO，QP∥y軸可得到點Q和P關于x對稱，可求得點Q的縱坐標，將點Q的縱坐標代入平移后的解析式可求得對應的x的值，則可得到點Q的坐標．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數圖象的平移的相關知識，掌握平移步驟：（1）配方 y=a(x-h)2+k，確定頂點（h,k）（2）對x軸左加右減；對y軸上加下減，以及對銳角三角函數的定義的理解，了解銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的銳角三角函數．