Question

【題目】如圖，直線y＝－x＋10與x軸、y軸分別交于點B，C，點A的坐標為(8，0)，P(x，y)是直線y＝－x＋10在第一象限內的一個動點．

(1)求△OPA的面積S與x的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍；

(2)過點P作PE⊥x軸于點E，作PF⊥y軸于點F，連接EF，是否存在一點P使得EF的長最小，若存在，求出EF的最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) S＝40－4x(0<x<10)；(2)存在點P使得EF的長最小，最小值為5

【解析】試題分析：（1）利用三角形面積公式，得到S△OPA面積,得到S和x的關系.

(2) 四邊形OEPF為矩形，OP垂直于BC時，OP最小，EF也最小.

試題解析：

解：(1)S△OPA＝OA·y＝×8×(－x＋10)＝40－4x.

∴S＝40－4x(0<x<10)．

(2)存在點P使得EF的長最小，

∵四邊形OEPF為矩形，

∴EF＝OP，∴OP⊥BC時，OP最小，即EF最小．

∵B(10，0)，C(0，0)，∴OB＝OC＝10，BC＝10..

∴OP＝＝5..

∴EF的最小值為5.