Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，直線y=x+1與x軸、y軸分別交于點A，B，拋物線y=ax2+bx-3a（a>0）經過點A將點B向右平移5個單位長度，得到點C.

(1)求點C的坐標;

(2)求拋物線的對稱軸;

(3)若拋物線與線段BC恰有一個公共點，結合函數圖象，求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）C（5，1）；（2）拋物線的對稱軸x=1；（3）a≥或a＜-或a=-．

【解析】

（1）根據坐標軸上點的坐標特征可求點B的坐標，根據平移的性質可求點C的坐標；

（2）根據坐標軸上點的坐標特征可求點A的坐標，進一步求得拋物線的對稱軸；

（3）結合圖形，分三種情況：①a＞0；②a＜0，③拋物線的頂點在線段BC上；進行討論即可求解．

（1）與y軸交點：令x=0代入直線y=x+1得y=1，

∴B（0，1），

∵點B向右平移5個單位長度，得到點C，

∴C（5，1）；

（2）與x軸交點：令y=0代入直線y=x+1得x=-1，

∴A（-1，0），

∵將點A（-1，0）代入拋物線y=ax2+bx-3a中得0=a-b-3a，即b=-2a，

∴拋物線的對稱軸x=-；

（3）∵拋物線y=ax2+bx-3a經過點A（-1，0）且對稱軸x=1，

由拋物線的對稱性可知拋物線也一定過A的對稱點（3，0），

①a＞0時，如圖1，

將x=0代入拋物線得y=-3a，

∵拋物線與線段BC恰有一個公共點，

∴-3a＜1，

解得a＞-，

將x=5代入拋物線得y=12a，

∴12a≥1，

解得a≥ ，

∴a≥；

②a＜0時，如圖2，

將x=0代入拋物線得y=-3a，

∵拋物線與線段BC恰有一個公共點，

∴-3a＞1，

∴a＜-；

③當拋物線的頂點在線段BC上時，則頂點為（1，1），如圖3，

將點（1，1）代入拋物線得1=a-2a-3a，

解得a=-．

綜上所述，a≥或a＜-或a=-．