Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，BD的垂直平分線分別交AB、CD、BD于E、F、O，連接DE、BF．

（1）求證：四邊形BEDF是菱形；

（2）若AB＝8cm，BC＝4cm，求四邊形DEBF的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）20cm2．

【解析】

(1)先證明△BOE≌△DOF,得出EO＝FO，且OB＝OD,再根據EF垂直平分BD,可得出四邊形BEDF為菱形;

(2) 由菱形的性質知BE＝DE，在Rt△ADE中，根據DE2＝AE2+DA2列式求解即可.

證明：（1）∵四邊形ABCD是矩形，O是BD的中點，

∴∠A＝90°，AD＝BC＝4，AB∥DC，OB＝OD，

∴∠OBE＝∠ODF

在△BOE和△DOF中，

∴△BOE≌△DOF（ASA），

∴EO＝FO，且OB＝OD

∴四邊形BEDF是平行四邊形，

∵EF垂直平分BD

∴BE＝DE

∴四邊形BEDF是菱形

（2）∵四邊形BEDF是菱形

∴BE＝DE，

在Rt△ADE中，DE2＝AE2+DA2，

∴BE2＝（8﹣BE）2+16，

∴BE＝5

∴四邊形DEBF的面積＝BE×AD＝20cm2．