Question

【題目】已知拋物線y=﹣x2+3x+4交y軸于點A，交x軸于點B，C（點B在點C的右側）．過點A作垂直于y軸的直線l．在位于直線l下方的拋物線上任取一點P，過點P作直線PQ平行于y軸交直線l于點Q．連接AP．

（1）寫出A，B，C三點的坐標；

（2）若點P位于拋物線的對稱軸的右側：

①如果以A，P，Q三點構成的三角形與△AOC相似，求出點P的坐標；

②若將△APQ沿AP對折，點Q的對應點為點M．是否存在點P，使得點M落在x軸上？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；

③設AP的中點是R，其坐標是（m，n），請直接寫出m和n的關系式，并寫出m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）B（4，0），C（﹣1，0）（2）①P（，）或（7，24）②P（4，0）或（5，﹣6）③m＜0，或m＞

【解析】

試題分析：（1）先令x=0求出y的值即可得出A點坐標，再令y=0求出x的值即可得出BC兩點的坐標；

（2）①分△AQP∽△AOC與△AQP∽△COA兩種情況進行討論；

②過點M作y軸的平行線交直線AQ于點E，過點P作PF⊥直線ME于點F，設Q（x，4），則P（x，﹣x2+3x+4），PQ=x2﹣3x=PM，再由△AEM∽△MFP求出PF的表達式，在Rt△AOM中根據勾股定理求出x的值，進而可得出P點坐標

③根據在位于直線l下方的拋物線上任取一點P，則有a＜0或a＞3，由點P在拋物線上即可建立m與n的關系．

試題解析：（1）∵令x=0，則y=4，

∴A（0，4）；

∵令y=0，則﹣x2+3x+4=0，解得x1=4，x2=﹣1，

∴B（4，0），C（﹣1，0）；

（2）①∵以A，P，Q三點構成的三角形與△AOC相似，

∴△AQP∽△AOC與△AQP∽△COA，

∴或，

即或，

解得x=或x=7，均在對稱軸的右側，

∴P（，）或（7，24）；

②如圖所示，過點M作y軸的平行線交直線AQ于點E，過點P作PF⊥直線ME于點F，

設Q（x，4），則P（x，﹣x2+3x+4），PQ=x2﹣3x=PM，

∵∠EAM+∠EMA=90°，∠EMA+∠FMP=90°，

∴∠FMP=∠EAM．

∵∠MFP=∠AEM=90°，

∴△AEM∽△MFP，

∴．

∵MP=x2﹣3x，

∴，

∴PF=4x﹣12，

∴OM=（4x﹣12）﹣x=3x﹣12，

在Rt△AOM中，

∵OM2+OA2=AM2，即（3x﹣12）2+42=x2，解得x1=4，x2=5均在拋物線對稱軸的右側，

∴P（4，0）或（5，﹣6）．

③∵拋物線y=﹣x2+3x+4和A（0，4），

∴拋物線和直線l的交點坐標為A（0，4），（3，4），

設P（a，﹣a2+3a+4）；（a＜0或a＞3）

∵AP的中點是R，A（0，4），

∴=m，=n，

∴n=﹣2m2+3m+4，

∵a＜0或a＞3，

∴2m＜0，或2m＞3，

∴m＜0，或m＞．