Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E是BC邊的中點，點P在線段AD上，過P作PF⊥AE于F，設PA=x．

（1）求證：△PFA∽△ABE；

（2）當點P在線段AD上運動時，設PA=x，是否存在實數x，使得以點P，F，E為頂點的三角形也與△ABE相似？若存在，請求出x的值；若不存在，請說明理由；

（3）探究：當以D為圓心，DP為半徑的⊙D與線段AE只有一個公共點時，請直接寫出x滿足的條件：　 　．

備用圖

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）3或．（3）或0＜

【解析】試題分析：（1）根據矩形的性質，結合已知條件可以證明兩個角對應相等，從而證明三角形相似；
（2）由于對應關系不確定，所以應針對不同的對應關系分情況考慮：當 時，則得到四邊形為矩形，從而求得的值；當時，再結合（1）中的結論，得到等腰．再根據等腰三角形的三線合一得到是的中點，運用勾股定理和相似三角形的性質進行求解．
（3）此題首先應針對點的位置分為兩種大情況：點在邊上時或當點在的延長線上時．同時還要特別注意與線段只有一個公共點，不一定必須相切，只要保證和線段只有一個公共點即可．故求得相切時的情況和相交，但其中一個交點在線段外的情況即是的取值范圍．

試題解析：(1)證明：∵矩形ABCD，

∴AD∥BC.

∴∠PAF=∠AEB.

又∵PF⊥AE，

∴△PFA∽△ABE.

(2)情況1,當△EFP∽△ABE，且∠PEF=∠EAB時，

則有PE∥AB

∴四邊形ABEP為矩形，

∴PA=EB=3，即x=3.

情況2,當△PFE∽△ABE，且∠PEF=∠AEB時，

∵∠PAF=∠AEB，

∴∠PEF=∠PAF.

∴PE=PA.

∵PF⊥AE，

∴點F為AE的中點，

即

∴滿足條件的x的值為3或

(3) 或