Question

3．如圖，過?ABCD的對角線AC上任一點P作一直線，分別交AB、BC、CD、DA所在直線于E、F、G、H．求證：PE•PF=PG•PH．

Answer 1

分析 先利用平行四邊形的性質得到CD∥AB，AD∥BC，則利用相似三角形的判定得到△PCG∽△PAE，△PCF∽△PAH，根據相似三角形的性質得$\frac{PC}{PA}$=$\frac{PG}{PF}$，$\frac{PC}{PA}$=$\frac{PF}{PH}$，利用等量代換得到$\frac{PG}{PF}$=$\frac{PF}{PH}$，然后根據比例的性質即可得到結論．

解答 解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴CD∥AB，AD∥BC，
∵CG∥AE，
∴△PCG∽△PAE，
∴$\frac{PC}{PA}$=$\frac{PG}{PF}$，
∵CF∥AH，
∴△PCF∽△PAH，
∴$\frac{PC}{PA}$=$\frac{PF}{PH}$，
∴$\frac{PG}{PF}$=$\frac{PF}{PH}$，
∴PE•PF=PG•PH．

點評 本題考查了相似三角形的判定于性質：在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構造相似三角形；在利用相似三角形的性質時主要根據相似比表示線段之間的關系．