Question

【題目】如圖1，已知拋物線y=﹣ x2﹣ x+c與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（B點(diǎn)在A點(diǎn)的左側(cè)），與y軸相交于C點(diǎn)，且AB=10．

（1）求這條拋物線的解析式；
（2）如圖2，D點(diǎn)在x軸上，且在A點(diǎn)的右側(cè)，E點(diǎn)為拋物線上第二象限內(nèi)的點(diǎn)，連接ED交拋物線于第二象限內(nèi)的另外一點(diǎn)F，點(diǎn)E到y(tǒng)軸的距離與點(diǎn)F到y(tǒng)軸的距離之比為3：1，已知tan∠BDE= ，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)G由B出發(fā)，沿x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，連接EG，點(diǎn)H在線段EG上，連接DH，∠EDH=∠EGB，過點(diǎn)E作EK⊥DH，與拋物線相應(yīng)點(diǎn)E，若EK=EG，求點(diǎn)K的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解：由y=﹣ x2﹣ x+c，

可得對(duì)稱軸為x=﹣4

∵AB=10，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），

∴ ，

∴c=3

∴拋物線的解析式為y=﹣ +3．

（2）解：如圖2，作EM⊥x軸，垂足為點(diǎn)M，F(xiàn)N⊥x軸，垂足為點(diǎn)N，F(xiàn)T⊥EM，垂足為點(diǎn)T．

∴∠TMN=∠FNM=∠MTF=90°，

∴四邊形FTMN為矩形，

∴EM∥FN，F(xiàn)T∥BD．

∴∠BDE=∠EFT，

∵tan∠BDE= ，

∴tan∠EFT= ，

設(shè)E（﹣3m，yE），F(xiàn)（﹣m，yF）

∴

∵y=﹣ +3過點(diǎn)E、F，

則yE﹣yF= =（﹣3m2+8m+3）﹣（﹣ +3），

解得m=0（舍去）或m=1，

當(dāng)m=1時(shí)，﹣3m=﹣3，

∴ =8．

∴E（﹣3，8）

（3）解：如圖3，作EM⊥x軸，垂足為點(diǎn)M，過點(diǎn)K作KR⊥ED，與ED相交于點(diǎn)R，與x軸相交于點(diǎn)Q．

∵∠KER+∠EDH=90°，∠EGM+∠GEM=90°，∠EDH=∠EGM，

∴∠KER=∠GEM，

在△EGM和△EKR中，

∴△EGM≌△EKR，

∴EM=ER=8，

∵tan∠BDE= ．

∴ED=10，

∴DR=2，

∴DQ=

∴Q（﹣ ，0），

可求R（ ， ）

∴直線RQ的解析式為：y= ．

設(shè)點(diǎn)K的坐標(biāo)為（x， ）代入拋物線解析式可得x=﹣11

∴K（﹣11，﹣8）．

【解析】（1）利用拋物線的軸對(duì)稱性，求出對(duì)稱軸，結(jié)合AB=10，求出A點(diǎn)坐標(biāo)代入即可；（2）設(shè)出E的橫坐標(biāo)，表示 出E、F的縱坐標(biāo)，利用tan∠BDE的定義構(gòu)建關(guān)于m的方程，求出E的坐標(biāo)；（3）通過作垂線構(gòu)造出全等三角形，即△EGM≌△EKR，求出直線RQ解析式，解出二者聯(lián)立的方程組， 即可求出其與拋物線交點(diǎn)坐標(biāo).