Question

【題目】如圖在平面直角坐標系xoy中，直線y＝2x+4與y軸交于A點，與x軸交于B點，拋物線C1：y=－x＋bx+c過A、B兩點，與x軸另一交點為C。

（1）（3分）求拋物線解析式及C點坐標。

（2）（4分）向右平移拋物線C1，使平移后的拋物線C2恰好經過△ABC的外心，拋物線C1、C2相交于點D，求四邊形AOCD的面積。

（3）（5分）已知拋物線C2的頂點為M，設P為拋物線C1對稱軸上一點，Q為拋物線C1上一點，是否存在以點M、Q、P、B為頂點的四邊形為平行四邊形，若存在，直接寫出P點坐標，不存在，請說明理由。

圖（1） 圖（2）

Answer 1

【答案】(1) y=－ x＋x＋4，C(8，0)；（2）；（3）存在，點P的坐標為（3，0）或(3，-）或(3，-25））.

【解析】

試題分析：（1）在y＝2x+4中，令x=0，可得y=4，則點A的坐標為A(0，4)；令y=0，可得x=－2，則點B的坐標為(－2，0)；因為拋物線C1：y=－x＋bx+c過A、B兩點，故將A(0，4)，B(－2，0)代入y=－x＋bx+c，聯立方程組，求解b，c的值即可求得拋物線解析式y=－ x＋x＋4，再令－ x＋x＋4=0，即可得C點坐標；（2）先證明△ABC是直角三角形，得△ABC的斜邊BC的中點為(3，0)即E點坐標為(3,0) ，由平移可得F點坐標為F (13，0)，從而得出拋物線C的解析式，再將C1、C聯立方程組解出x，y的值，最后根據S四邊形AOCD= S三角形AOD＋S三角形 OCD即可得出四邊形AOCD的面積；（3）分情況討論可能的情形即可得出結論.

試題解析： ⑴∵直線y＝2x+4與y軸交于A點，與x軸交于B點，

∴令x=0，可得y=4，則點A的坐標為A(0，4)；

令y=0，可得x=－2，則點B的坐標為(－2，0)；

將A(0，4)，B(－2，0)代入y=－x＋bx+c，聯立方程組，

解得，b=, c=4

∴拋物線C的解析式為: y=－ x＋x＋4

∵拋物線C1：y=－x＋bx+c與x軸交于點C

令－ x＋x＋4=0，

解得，x=8

∴C點坐標為C(8，0)

⑵如圖，

由（1）知，C(8，0)，A(0，4)，B (－2，0)

∴AC2=AO2+OC2=42+82=80，

AB2= AO2+OB2=42+22=20，

又BC=BO+OC=8+2=10，∴BC2= 102=100

∴BC2= AC2+AB2，

∴△ABC是直角三角形.

△ABC的斜邊BC的中點為(8+2)÷2=5

∴OE=5-OB=5-2=3

∴△ABC的斜邊BC的中點為(3,0)

∵拋物線C2恰好經過△ABC的外心，

∴ E為△ABC的外心，E點坐標為(3,0)

∴F點坐標為(3+8+2，0)，即F(13，0)

由E (3,0) ，F(13，0)得拋物線C∶y= - (x-3 ) (x-13 )

即C∶y= -x＋4x－

聯立方程組

解得 x= y=

∴S四邊形AOCD= S三角形AOD＋S三角形 OCD

＝×4×＋×8×=

答：四邊形AOCD的面積為.

⑶分情況討論如下：

①BM為對角線時，中點在直線x=3上，Q（3，）

所以P（3，0）

②當四邊形PQBM為平行四邊形時PQ∥MB， Q（-7，-）,

所以P(3，-）

③當四邊形PQMB為平行四邊形時PQ∥BM，Q（13，-）,

所以P(3，-25）