Question

【題目】如圖1，點O為直線AB上一點，過點O作射線OC，使∠BOC=120°，將一個含30°的直角三角板的直角頂點放在點O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方．（圖中∠OMN=30°，∠NOM=90°）

（1）將圖1中的三角板繞點O逆時針旋轉至圖2，使OM在∠BOC的內部，且恰好平分∠BOC，問直線ON是否平分∠AOC？請說明理由；

（2）將圖1中的三角板繞點O按每秒6°的速度沿逆時針方向旋轉一周，在旋轉的過程中，第t秒時，直線ON恰好平分銳角∠AOC，求t；

（3）將圖1中的三角板繞點O順時針旋轉至圖3，使ON在∠AOC的內部，請探究：∠AOM與∠NOC之間的數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）直線ON平分∠AOC，理由詳見解析；（2）t=10或t=40；（3）∠AOM–∠NOC=30°．

【解析】

（1）由角的平分線的定義和等角的余角相等求解；

（2）由∠BOC=120°可得∠AOC=60°，則∠AON=30°或∠NOR=30°，即順時針旋轉300°或120°時ON平分∠AOC，據此求解；

（3）因為∠MON=90°，∠AOC=60°，所以∠AOM=90°-∠AON、∠NOC=60°-∠AON，然后作差即可．

解：（1）直線ON平分∠AOC；

理由：

設ON的反向延長線為OD，

∵OM平分∠BOC，

∴∠MOC=∠MOB=60°，

又∵OM⊥ON，

∴∠MON=90°，

∴∠BON=30°，

∴∠CON=120°+30°=150°，

∴∠COD=30°，

∴OD平分∠AOC，

即直線ON平分∠AOC；

（2）由（1）可知∠BON=30°，∠DON=180°，

因此ON旋轉60°或240°時直線ON平分∠AOC，

由題意得，6t=60°或240°，

∴t=10或40；

（3）∵∠MON=90°，∠AOC=60°，

∴∠AOM=90°-∠AON、∠NOC=60°-∠AON，

∴∠AOM-∠NOC=（90°-∠AON）-（60°-∠AON）=30°．