Question

如圖，等邊△ABC中，AD是∠BAC的角平分線，E為AD上一點，以BE為一邊且在BE下方作等邊△BEF，連接CF．
（1）求證：AE=CF；
（2）G為CF延長線上一點，連接BG．若BG=5，BC=8，求CG的長．

Answer 1

分析：（1）由條件可以得出∠ABE=∠CBF，再根據等邊三角形的性質就可以證明△BAE≌△BCF，從而可以得出AE=CF．
（2）作BH⊥CG于H，由第一問的結論可以得出∠BCF=∠BAD=30°，得出BH=4，由勾股定理就可以得出HC的值，在△GBH中由勾股定理可以得出GH的值，從而可以求出CG的值．

解答：（1）證明：∵△ABC、△BEF都是等邊三角形，
∴AB=BC=AC，BE=EF=BF，∠BAC=∠ABC=∠ACB=∠EBF=∠BEF=∠BFE=60°，
∴∠ABC-∠EBD=∠EBF-∠EBD，
∴∠ABE=∠CBF，
在△BAE和△BCF中

AB=BC ∠ABE=∠CBF BE=BF

，
∴△BAE≌△BCF，
∴AE=CF；

（2）解：作BH⊥CG于H，
∴∠BHC=∠BHG=90°
∵AD是∠BAC的角平分線，
∴∠BAD=30°，
∵由（1）知△ABE≌△CBF，
∴∠BCF=∠BAD=30°，
∴BH=

1

2

BC=4，在Rt△BHC和Rt△GHB中，由勾股定理，得
∴HC=4

3

，GH=3，
∴CG=3+4

3

，
當G在G′時，在Rt△BHG′由勾股定理可以求出
G′H=3，
∴CG′=4

3

-3，
∴CG的值為：3+4

3

或4

3

-3．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質，等邊三角形的性質，勾股定理的運用．