Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是正方形，點E是平面內異于點A的任意一點，以線段AE為邊作正方形AEFG，連接EB，GD．

（1）如圖1，求證EB＝GD；

（2）如圖2，若點E在線段DG上，AB＝5，AG＝3，求BE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）BE＝7．

【解析】

(1)根據正方形的性質得出條件證明△AGD≌△AEB,即可證明EB=GD．

(2)作AH⊥DG,根據勾股定理算出EG,再推出AH,再由勾股定理求出DH,即可求出BE．

(1)證明：∵四邊形ABCD和四邊形BEFG都是正方形,

∴AB＝AD,AG＝AE,∠BAD＝∠GAE＝90°,

∴∠BAE＝∠DAG,

在△AGD和△AEB中

∴△AGD≌△AEB(SAS),

∴EB＝GD；

(2)解：作AH⊥DG于H,

∵四邊形ABCD和四邊形BEFG都是正方形,

∴AD＝AB＝5,AE＝AG＝3．

∴由勾股定理得：EG＝＝6,

AH＝GH＝EG＝3(直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半),

∴DH＝＝4,

∴BE＝DG＝DH+GH＝3+4＝7．