Question

【題目】如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接CF．

（1）求證：AF=DC；
（2）若AB⊥AC，試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AF∥BC，

∴∠AFE=∠DBE，

∵E是AD的中點(diǎn)，AD是BC邊上的中線，

∴AE=DE，BD=CD，

在△AFE和△DBE中

∴△AFE≌△DBE（AAS），

∴AF=BD，

∴AF=DC．

（2）解：四邊形ADCF是菱形，

證明：AF∥BC，AF=DC，

∴四邊形ADCF是平行四邊形，

∵AC⊥AB，AD是斜邊BC的中線，

∴AD= BC=DC，

∴平行四邊形ADCF是菱形．

【解析】（1）由平行線的性質(zhì)可知：AF∥BC，得到∠AFE=∠DBE，又E是AD的中點(diǎn)，AD是BC邊上的中線，得到AE=DE，BD=CD，所以△AFE≌△DBE（AAS），AF=BD，即AF=DC；（2）AF∥BC，AF=DC，根據(jù)平行四邊形的定義得到四邊形ADCF是平行四邊形，又AC⊥AB，AD是斜邊BC的中線，得到AD= BC=DC，根據(jù)菱形的定義得到平行四邊形ADCF是菱形．